Франк П. Рамсей. Истина и вероятность (1926)[692].

...говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть, – значит говорить ложное; а говорить, что сущее есть и не-сущее не есть, – значит говорить истинное. Аристотель Имея перед собой несколько гипотез, которые мы считаем взаимно исключающими друг друга и исчерпывающими, но относительно которых нам больше ничего не известно, мы распределяем нашу веру поровну между ними... Признав, что таким образом мы распределяем нашу веру в простых случаях, и будучи последовательными, станем использовать примененный в этом случае способ в более сложных случаях, и тогда мы придем к соответствующей теории в целом. У.Ф. Донкитс Цель наших рассуждений состоит в том, чтобы установить с учетом уже известного нам чего-то такого, что мы еще не знаем. Следовательно, рассуждение есть благо, если оно таково, что дает истинное заключение из истинных посылок, а не наоборот. Ч.С. Пирс Истину нельзя рассказать так, чтобы ее поняли, но не поверили бы в нее. У. Блейк

Предисловие.

В этом очерке теория вероятностей рассматривается как раздел логики – логики неполной веры и недемонстративного рассуждения; но здесь не подразумевается, что это единственный или даже наиболее важный аспект данного предмета изучения. Вероятность имеет основополагающее значение не только для логики, но также для статистики и физической науки, и мы не можем быть заранее уверены, что ее наиболее полезная интерпретация в логике будет также пригодна и в физике. В сущности, привычное разногласие между статистиками, по большей части принимающим частотную теорию вероятности, и логиками, в большинстве своем отвергающими ее, внушает мысль, что эти две школы в действительности говорят о разных вещах и что логики используют слово «вероятность» в одном смысле, а статистики – в другом. Поэтому выводы, к которым мы придем в отношении значения вероятности в логике, вовсе не предрешают вопроса о ее значении в физике.

Содержание.

1. Частотная теория.

2. Теория м-ра Кейнса.

3. Степени веры.

4. Логика совместимости.

5. Логика истины.

1. Частотная теория.

В надежде избежать некоторых чисто словесных разногласий я намерен начать с признаний в пользу частотной теории. Во-первых, следует признать, что эта теория имеет прочные корни в обыденном языке, в котором «вероятность» часто употребляется практически как синоним доли; например, когда мы говорим, что вероятность выздоровления от оспы равна трем четвертям, думаю, мы просто имеем виду, что такова доля случаев выздоровления от оспы. Во-вторых, если мы начинаем с того, что называют исчислением вероятностей, рассматривая его как раздел чистой математики, а уже затем обращаемся к поиску некоторой интерпретации формул с тем, чтобы показать, что наши аксиомы не противоречат друг другу, а наш предмет не полностью бесполезен, то наиболее простой и наименее спорной является интерпретация исчисления вероятности в терминах частоты. Это верно не только в отношении обычной математической теории вероятности, но и в отношении символического исчисления, разработанного м-ром Кейнсом; ибо если a и h в его a/h берутся не как суждения, а как пропозициональные функции или классификационные понятия, определяющие конечные классы, а a/h истолковывается как доля элементов h, которые одновременно являются элементами a, то все его высказывания превращаются в арифметические трюизмы.

Помимо этих двух допущений имеется еще третье, более важное, которое я готов на время принять, хотя оно и не выражает моей действительной позиции. Состоит оно в следующем. Допустим, мы начинаем с математического исчисления и задаемся не прежним вопросом, какая его интерпретация наиболее удобна для чистой математической теории, а вопросом, какая интерпретация дает результаты наиболее ценные для науки в целом; тогда, возможно, ответом опять будет интерпретация в терминах частоты, согласно которой вероятность, как она используется в статистических теориях, в частности в статистической механике, где энтропия есть логарифм вероятности, действительно является выраженным в числах отношением двух классов или пределом такого отношения. Сам я так не считаю, но пока я намерен согласиться с частотной теорией в том, что вероятность, как она используется в современной науке, по сути, есть то же самое, что частота.

Если все это признать, то останется фактом, что и обыденный язык, и многие великие мыслители дают нам основания для того, чтобы под рубрикой вероятности обсуждать и то, что представляется совсем иным предметом, а именно логику неполных оснований. Вполне возможно, что, как полагают некоторые сторонники частотной теории, логика неполной веры в конечном счете окажется изучением частот либо потому, что неполную веру можно определить как некоторый вид частоты или сослаться на некоторый вид частоты, либо потому, что она может стать предметом логического рассмотрения только как основанная на полученных опытным путем частотах. Оценить обоснованность этих утверждений мы сможем, однако, только в результате нашего изучения неполной веры, так что я предлагаю пока оставить частотную теорию без внимания и заняться исследованием логики неполной веры. Здесь, я думаю, будет более удобно начать не прямо с разработки своей собственной теории, а с разбора взглядов м-ра Кейнса, которые очень хорошо известны и в основных положениях являются настолько широко признанными, что читатели, вероятно, сочтут обращение к этой теме de novo лишенным оснований, пока эти взгляды не будут опровергнуты.

2. Теория м-ра Кейнса.

М-р Кейнс[693] начинает с предположения, что мы делаем вероятные выводы, которым приписываем объективную правильность; что мы переходим от полной веры в одно суждение к неполной вере в другое и утверждаем, что этот переход является объективно правильным, так что если бы кто-либо при сходных обстоятельствах испытывал иную по степени веру, он бы ошибался. М-р Кейнс объясняет это тем, что по его предположению между любыми двумя суждениями, взятыми как посылка и заключение, имеет место одно и только одно отношение определенного вида, называемое вероятностным отношением, и если в любом данном случае это отношение характеризуется степенью ?, мы должны, если мы рациональны, перейти от полной веры в посылку к вере степени ? в заключение.

Прежде чем приступить к критике этого взгляда, мне, возможно, позволят отметить один очевидный и легко устранимый недостаток в его формулировке. Когда утверждается, что степень вероятностного отношения совпадает со степенью веры, которую оно оправдывает, видимо, предполагается, что и вероятностное отношение, с одной стороны, и степень веры, с другой, могут быть естественным образом выражены в числах и что число, выражающее вероятностное отношение или служащее его мерой, совпадает с числом, выражающим соответствующую степень веры. Но если, как считает м-р Кейнс, эти вещи не всегда можно выразить с помощью чисел, то мы не можем дать такого простого истолкования его утверждению о том, что степень одного совпадает со степенью другой, а должны предположить, что он имеет в виду однозначное соответствие между вероятностными отношениями и степенями веры, которые они оправдывают. Ясно, что это соответствие должно сохранять отношения «больше» и «меньше», и поэтому оно делает множество вероятностных отношений и множество степеней веры подобными в смысле м-ра Рассела. На мой взгляд, очень жаль, что м-р Кейнс не видит этого, потому что точность этого соответствия послужила бы достойным поводом для изрядного скептицизма, как и числовое измерение вероятностных отношений. Фактически многие из его доводов против числового измерения этих отношений, как представляется, сохраняют свою силу также и против установления точного соответствия их степеням веры; например, он утверждает, что если ставки страхования соответствуют субъективным, т. е. действительным степеням веры, то они не определены рациональным образом, и поэтому нельзя заключить, что вероятностные отношения могут быть измерены сходным образом. Можно показать, что в этом случае истинным заключением было бы не то, что, как считает м-р Кейнс, нечисловому вероятностному отношению соответствует нечисловая степень рациональной веры, а то, что степени веры, которые всегда являются числовыми, не соответствуют однозначно вероятностным отношениям, которые их оправдывают. Ибо, я полагаю, вполне допустимо, что степени веры можно было бы измерять с помощью психогальванометра или какого-либо другого подобного прибора, и м-р Кейнс вряд ли бы пожелал заключить отсюда, что все вероятностные отношения можно было бы производным образом измерить с помощью мер, использовавшихся для измерения веры, которую они оправдывают.

Но вернемся теперь к более существенной критике взглядов м-ра Кейнса. Очевидное возражение состоит в том, что, по-видимому, на самом деле не существует ничего такого, что он описывает как вероятностные отношения. Он полагает, что, по крайней мере в некоторых случаях, они могут быть объектом восприятия, но если говорить обо мне, то я совершенно уверен, что это не так. Я не воспринимаю их, и чтобы меня убедить в их существовании, необходимо привести аргументы; более того, я сильно сомневаюсь в том, что и другие люди их воспринимают, потому что они демонстрируют очень мало согласия относительно того, какое из этих отношений связывает любые два суждения. Все что мы, похоже, знаем о них, – это определенные общие положения, законы сложения и умножения; это как если бы каждый знал законы геометрии, но никто не мог бы делать различия между круглым и квадратным объектом. Я с трудом могу представить, как такой большой корпус общих знаний может сочетаться с таким скудным запасом конкретных фактов. Конечно, относительно некоторых отдельных случаев существует согласие, но эти случаи, как это ни парадоксально, всегда очень сложны; мы все согласны, что вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна 1/2, но никто из нас не может точно сказать, что является свидетельством, выступающим вторым членом в вероятностном отношении, которое мы оцениваем в этом случае. В то же время, если мы возьмем самые простые возможные пары суждений, такие как «Это красное» и «То голубое» или «Это красное» и «То красное», логические отношения между которыми несомненно должны быть наиболее легко усматриваемыми, никто, я думаю, не станет делать вид, что знает, каким является вероятностное отношение, которое их связывает. Или, возможно, кто-то способен заявить, что усматривает это отношение, но при этом он будет не состоянии что-то достоверно утверждать о нем: например сказать, больше оно или меньше 1/3 и т. п. Конечно, могут сказать, что оно несопоставимо ни с каким числовым отношением, но отношение, о котором можно сказать так мало истинного, представляет немного пользы для науки, и очень трудно убедить скептика в том, что оно существует. К тому же это представление довольно парадоксально; ибо любой защитник индукции должен признать, что между «Это красное», взятым как заключение, и «Это круглое», взятым вместе с миллиардом суждений вида «а круглое и красное» в качестве свидетельства, имеется конечное вероятностное отношение. Ведь трудно предположить, что в ходе накопления примеров вдруг наступает момент, скажем после 233 примеров, когда вероятностное отношение становится конечным и потому сопоставимым с некоторыми числовыми отношениями.

Мне представляется, что если мы возьмем два суждения «a красное» и «b красное», мы не сможем выделить более четырех простых логических отношений между ними, а именно тождество формы, тождество предикатов, несходство субъектов и логическая независимость значения. Если бы меня спросили, какую вероятность одно из них придает другому, я бы не стал для ответа на этот вопрос рассматривать эти суждения, пытаясь выявить логическую связь между ними. Скорее я постарался бы представить себе, что одно из них – это все, что мне известно, и затем угадать, с какой степенью доверия мне следует отнестись к другому. Если бы мне удалось это сделать, я, несомненно, мог бы этим не удовлетвориться и сказать: «Это я так думаю, но я все же глуп», затем обратиться к рассмотрению того, что мудрый человек назвал бы степенью веры. Об этом виде самокритики я скажу позже при изложении собственной теории; здесь же я хочу лишь заметить, что при оценке степени вероятности никто не занимается простым созерцанием двух суждений, которые, как предполагается, она связывает; человек всегда учитывает inter alia свою собственную действительную или предполагаемую степень веры. Это замечание родилось из моих наблюдений за собственным поведением, и оно представляется мне единственным объяснением того факта, что все мы можем давать оценку вероятности в случаях, взятых из реальной жизни, но совершенно неспособны это делать в наиболее простых, с логической точки зрения, случаях, в которых вероятность, будь она логическим отношением, было бы легче всего усмотреть.

Еще один довод против теории м-ра Кейнса, я думаю, можно почерпнуть из его неспособности строго следовать ей даже при обсуждении первых принципов. Возьмем отрывок из его главы об измерении вероятностей, в котором говорится следующее:

«Вероятность (см. гл. 2, пункт 11) имеет отношение к законам человеческого разума. Степень вероятности, которую нам рационально принять, не предполагает строго логичного рассмотрения и отчасти относится к вторичным суждениям, которые нам в действительности известны; не зависит она и от возможности или невозможности более строгого логического рассуждения. Это такая степень вероятности, к которой ведут логические процедуры, доступные нашему разуму, или, используя терминологию второй главы, такая, которую подтверждают вторичные суждения, нам в действительности известные. Если мы не принимаем такое представление о вероятности, если мы не ограничиваем ее таким образом и не соотносим ее с человеческими способностями, мы погружаемся в область неизвестного; ибо мы не можем даже знать, какая степень вероятности подтверждалась бы воспринимаемыми нами логическими отношениями, которые мы не способны и, должно быть, никогда не будем способны постичь» (см. выше.).

Это кажется мне совершенно несовместимым с теми представлениями, которых м-р Кейнс придерживается во всей книге, за исключением этого и еще одного сходного отрывка. Ибо он, как правило, полагает, что степень веры, которую мы вправе соотнести с заключением некоторого рассуждения, определяется тем, какое вероятностное отношение связывает это заключение с посылками. Существует только одно такое отношение и, стало быть, одно соответствующее истинное вторичное суждение, которое, конечно же, мы можем знать или не знать, но которое совершенно не зависит от человеческого разума. Если мы не знаем его, то и не знаем и не можем определить, в какой степени нам следует верить в заключение. Но часто, полагает он, мы действительно его знаем; вероятностные отношения не являются чем-то непостижимым для нас. При таком подходе процитированный выше отрывок не имеет смысла: вероятные мнения оправдываются вероятностными отношениями и бессмысленно говорить, что сами эти отношения оправдываются логическими связями, которые мы не способны и, должно быть, никогда не способны постичь. Важность этого отрывка для наших нынешних целей заключается в том, что в нем, видимо, предполагается иной взгляд на вероятность, для которого неопределимые вероятностные отношения не имеют значения, а степень рациональной веры зависит от разнообразных логических связей. Например, между посылкой и заключением может быть такое отношение, что посылка является логическим произведением тысячи обобщаемых примеров, а заключение – еще одним таким примером, и это отношение, которое не является неопределимым вероятностным отношением, но определяется с помощью обычной логики и легко распознается, может поэтому оправдывать определенную степень веры в заключение у того, кто принимает посылку. Таким образом, мы имели бы разнообразие обычных логических связей, оправдывающих одинаковые или разные степени веры. Сказать, что вероятность a при условии h является такой-то, означало бы, что между a и h имеется отношение, оправдывающее такую-то степень веры. И с этой точки зрения был бы реальный смысл в том, что рассматриваемое отношение не должно принадлежать к числу тех отношений, которые человеческий разум не способен постичь.

Этот второй взгляд на вероятность как на что-то такое, что зависит от логических отношений, но само не является еще одним логическим отношением, представляется мне более правдоподобным, чем привычная трактовка м-ра Кейнса, но это вовсе не означает, что я склонен согласиться с ним. Этот взгляд подразумевает несколько туманную идею логического отношения, оправдывающего некоторую степень веры, которую я не хочу принимать как неопределимую, поскольку она вовсе не представляется ясным или простым понятием. К тому же сложно сказать, какими логическими отношениями какие степени веры оправдываются и почему; любое решение здесь было бы произвольным и имело бы итогом логику вероятности, состоящую из множества так называемых необходимых фактов подобно формальной логике, вырастающей из представления м-ра Чадвика о логических константах.[694] Поэтому, на мой взгляд, лучше поискать объяснение этой «необходимости», взяв за образец работу м-ра Витгенштейна, которая позволяет нам ясно увидеть, в каком именно смысле и почему логические суждения являются необходимыми и почему вообще система формальной логики состоит из суждений, из которых она состоит, и что является их общей чертой. Так же как естественные науки пытаются объяснить и описать факты природы, так и философии, в каком-то смысле, следует попытаться объяснить и описать логические факты – задача, которую игнорирует философия, отметающая эти факты как непостижимо «необходимые» в неопределимом смысле.

Здесь я хочу завершить свою критику теории м-ра Кейнса, но не потому, что в иных аспектах она не вызывает возражений, а потому, что, как я надеюсь, сказанного уже достаточно, чтобы показать, что она не так уж удовлетворительна и не лишает смысла любую попытку посмотреть на предмет обсуждения с иной точки зрения.

3. Степени веры[695].

Предметом нашего исследования является логика неполной веры, и мы вряд ли сможем сколько-нибудь продвинуться в прояснении его, пока у нас не будет хотя бы приблизительного представления о том, что такое неполная вера и как ее можно, если вообще можно, измерить. Если нам говорят, что при таких-то обстоятельствах было бы рационально испытывать веру степени 2/3 в некоторое суждение, это не будет для нас информативным, пока мы не знаем, что означает такого рода вера в него. Мы должны, следовательно, попытаться разработать чисто психологический метод измерения веры. Недостаточно измерить вероятность; чтобы правильно соотнести нашу веру с вероятностью, мы должны уметь измерять нашу веру.

Обычно считается, что веру и другие психологические переменные величины нельзя измерить, и если это так, то наше исследование будет тщетным; таковой будет и вся теория вероятностей, рассматриваемая как логика неполной веры, ибо если выражение «вера, соответствующая 2/3 достоверности» бессмысленно, исчисление, единственная цель которого состоит в том, чтобы предписывать такую веру, тоже будет бессмысленным. Поэтому если мы не готовы признать наше предприятие безнадежным, мы обязаны принять, что вера в определенных пределах может быть измерена. Если бы мы хотели соблюсти сходство с трактовкой вероятностей м-ром Кейнсом, мы бы сказали, что какая-то вера измерима, а какая-то – нет, но это, как мне представляется, непохоже на правильную постановку вопроса: я не понимаю, как можно четко разделить веру на такую, которой есть место на числовой шкале, и такую, для которой такого места нет. Но я думаю, что в разных случаях вера действительно различается по своей измеримости в двух следующих смыслах. Во-первых, одна вера может быть более точно измерена, чем другая, и, во-вторых, измерение веры определенно является неоднозначной процедурой, приводящей к различным ответам в зависимости от того, как именно осуществляется измерение. В этом отношении степень веры подобна временному интервалу между двумя событиями. До Эйнштейна предполагалось, что все обычные способы измерения временного интервала дают один и тот же результат при их надлежащем выполнении. Эйнштейн же показал, что это не так и временной интервал нельзя больше считать точным понятием, поэтому его следует перестать использовать во всех точных исследованиях. Тем не менее временной интервал и ньютоновская система обеспечивают достаточную точность для многих целей и являются более простыми в применении.

Позже я постараюсь показать, что степень веры подобна временному интервалу; она не имеет точного значения, если мы четко не укажем, как именно ее следует измерять. Но для многих целей мы можем допустить, что альтернативные способы ее измерения приводят к одинаковому результату, хотя это только приблизительно верно. В итоге расхождения при оценке одной веры больше бросаются в глаза, чем при оценке другой, и поэтому первая вера кажется менее измеримой. Оба эти препятствия, вызванные, соответственно, трудностью проведения довольно точного измерения и существенной неоднозначностью самого определения процедуры измерения, имеют место и в физике и потому не являются затруднениями, присущими только нашей проблеме. Специфическим для нашей проблемы является то, что трудно сформулировать какую-либо идею о том, как проводить измерение, как найти единицу измерения и т. п.

Рассмотрим в таком случае, что подразумевается под измерением веры. Удовлетворительная система должна в первую очередь присваивать каждой вере величину или степень, занимающую определенную позицию в последовательности величин; веры, имеющие одинаковую степень с одной и той же верой, должны иметь одинаковую степень и друг с другом. Конечно, этого нельзя достичь без принятия определенного числа гипотез или условностей. Даже в физике мы не можем утверждать, что две вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой, если только мы понимаем «равны» не в значении «равны по ощущению», а как некоторое воображаемое или гипотетическое отношение. Я не хочу обсуждать метафизические или эпистемологические аспекты этой процедуры, но отмечу лишь, что если это допустимо в физике, то допустимо и в психологии тоже. Логической простоты, характерной для отношений, с которыми имеет дело наука, никогда не добиться, обращаясь только к природе, не привлекая воображения.

Однако построение такого упорядоченного ряда степеней не исчерпывает всей нашей задачи; мы должны также понятным образом приписать числа этим степеням. Мы можем, конечно, без труда пояснить, что полную веру мы обозначим как 1, полную веру в противоречивое суждение – как 0, а равную веру в суждение и противоречащее ему суждение – как 1/2. Но не так-то легко сказать, что означает вера, соответствующая 2/3 достоверности, или вера в некое суждение в 2 раза более сильная, чем вера в противоречащее ему суждение. Это более трудная часть нашей задачи, но она абсолютно неизбежна, ибо мы ведь определяем числовые значения вероятностей, и если они должны соответствовать степеням веры, нам следует найти некоторый способ приписывания чисел степеням веры. В физике мы часто приписываем числа на основе открытой физической процедуры сложения:[696] численные меры длины не приписываются произвольным образом с соблюдением только того условия, что большая длина должна иметь большую меру; мы определяем их далее, принимая решение относительно физического значения сложения; длина, получаемая путем сложения двух данных длин, должна иметь в качестве своей меры сумму их мер. Система измерения, в которой этому ничего не соответствует, сразу же признается произвольной, как например шкала твердости Мооса,[697] согласно которой число 10 произвольным образом приписывается алмазу, самому твердому из известных материалов, 9 – следующему по твердости и т. д. Нам нужно, стало быть, найти процедуру сложения для степеней веры или некоторый ее заменитель, который в равной мере подходил бы для определения числовой шкалы.

Такова наша задача. Как нам следует решать ее? Я думаю, есть два пути, которыми мы можем пойти. Мы можем, во-первых, предположить, что степень веры есть нечто такое, что ощущается тем, кому она присуща; например, веры отличаются по интенсивности чувства, которое их сопровождает и которое можно было бы назвать чувством веры или чувством убежденности, и под степенью веры мы могли бы иметь в виду интенсивность этого чувства. Этот подход был бы очень неудобным, ибо нелегко приписывать числа интенсивностям чувств, но помимо этого он представляется мне явно ложным, поскольку то, во что мы верим наиболее сильно, часто не сопровождается практически никакими чувствами вообще; никто не испытывает сильных чувств в отношении того, что он считает само собой разумеющимся.

Поэтому мы склоняемся ко второму предположению, гласящему, что степень веры является ее каузальным свойством, которое мы можем неточно выразить как степень нашей готовности действовать в согласии с ней. Это является обобщением хорошо известной идеи, согласно которой отличительное свойство веры заключено в ее каузальной эффективности и которую обсуждает м-р Рассел в его «Анализе сознания». Он отвергает ее по двум причинам, одна из которых представляется совершенно не относящейся к делу. Он утверждает, что в ходе наших размышлений мы принимаем многое такое, что не побуждает нас к действию. Это возражение, однако, бьет мимо цели, поскольку утверждается не то, что вера – это идея, которая на самом деле ведет к действию, а лишь то, что она привела бы к действию при соответствующих обстоятельствах; точно так же кусочек мышьяка называют ядом не потому, что он действительно кого-то убил или убьет, но потому, что он убьет любого, кто проглотит его. Второе возражение м-ра Рассела, однако, труднее отклонить. Как он указывает, нельзя предположить, что суждения, в которые мы верим, отличаются от других идей только своими последствиями, ибо если бы они были во всем остальном тождественными, были бы тождественными и их последствия. Это совершенно верно, но все же нельзя не учитывать, что природа различия между рассматриваемыми причинами совсем неизвестна или известна очень смутно, а мы хотим говорить лишь о различии между вызванными ими последствиями, которое легко наблюдается и является важным.

При количественном рассмотрении веры этот подход представляется мне единственно возможным. Вполне можно было бы полагать, что различие между верой и неверием связано с присутствием или отсутствием интроспектируемых чувств. Но когда мы пытаемся установить, каково различие между более твердой и менее твердой верой, мы не можем и дальше считать, что оно состоит в наличии больших или меньших наблюдаемых чувств; по крайней мере я лично не могу распознать никаких подобных чувств. Различие, на мой взгляд, заключается в том, насколько мы можем действовать в согласии с тем, во что верим: это может зависеть от интенсивности некоторого чувства или чувств, но я не знаю точно, каких именно чувств, и не вижу необходимости в том, чтобы мы знали это. То же самое имеет место и в физике: было обнаружено, что провод, соединяющий цинковые и медные пластины, помещенные в кислоту, вызывает отклонение находящейся рядом магнитной стрелки. В соответствии с тем, насколько сильно отклоняется стрелка, говорят о том, что по проводу течет больший или меньший ток. О природе этого «тока» можно строить лишь предположения: наблюдению и измерению поддаются только его проявления. Несомненно, нам возразят, что мы знаем, насколько сильно мы верим во что-то и что мы способны знать это только, если мы можем измерить нашу веру с помощью интроспекции. Я не считаю, что это обязательно так; во многих случаях наша оценка силы нашей веры, по сути, есть оценка того, как нам следует действовать в гипотетических обстоятельствах. В ответ нам укажут, что мы можем сказать, как нам следует действовать, только наблюдая нынешнее чувство веры, определяющее, как нам следует действовать, но опять же у меня есть сомнения в убедительности этого довода. То, что определяет, как нам следует действовать, возможно, напрямую или опосредованно заставляет нас составить правильное мнение о том, как нам следует действовать, хотя это никогда нами не осознается.

Предположим, однако, что я не прав и что мы можем определить с помощью интроспекции характер веры и измерить ее степень; тем не менее я намерен доказать, что измерение веры, с которым связана вероятность, относится не к этому виду, а является измерением веры qua основы для действия. Думаю, это можно показать двумя способами. Во-первых, рассмотрев шкалу вероятностей от 0 до 1 и то, как мы ее используем, мы обнаружим, что она очень хорошо подходит для измерения веры как основания для действия, но никоим образом не связана с измерением интроспектируемого чувства. Ибо единицами, в которых подобные чувства и ощущения измеряются, я думаю, всегда являются только заметные различия: иного способа получения единиц не существует. Но я не вижу оснований предполагать, что интервал между верой степени 1/3 и верой степени 1/2 содержит столько же заметных изменений, как и интервал между верой степени 2/3 и верой степени 5/6, или что шкала, основанная только на заметных различиях, имела бы какое-либо простое отношение к теории вероятностей. Вместе с тем вероятность, равная 1/3, имеет ясную связь с тем видом веры, который привел бы к заключению пари с соотношением ставок 1 к 2, и дальше я покажу, как можно обобщить идею этой связи применительно к действию вообще. Во-вторых, количественные аспекты веры как основы для действия очевидно более важны, чем интенсивности чувства веры. Последние представляют несомненный интерес, но могут сильно варьировать от индивида к индивиду, и их практическая значимость полностью определяется их статусом гипотетических причин для веры как основы для действия.

Возможно, кто-то возразит, что то, насколько нам следует действовать в согласии с верой в соответствующих обстоятельствах, есть нечто гипотетическое и потому не поддающееся измерению. Но говорить так значит просто обнаруживать незнание физики, которая постоянно имеет дело с гипотетическими величинами и их измерением; например, электрическое напряжение в данной точке есть сила, которая действовала бы на единичный заряд, если бы его поместили в эту точку.

Давайте теперь попытаемся найти метод измерения веры как основания для возможного действия. Ясно, что нас интересует диспозициональная, а не актуализированная вера, т. е. не вера в тот момент, когда мы думаем о том, во что верим, а вера вроде моей веры в то, что Земля круглая, о чем я редко думаю, но что направляло бы мои действия во всех случаях, имеющих к этому отношение.

Старинный способ измерения веры человека состоит в том, чтобы предложить ему пари и посмотреть, при каком наименьшем шансе он согласится. Я считаю этот метод разумным в своей основе, но его недостаток состоит в его неуниверсальности и неизбежной неточности. Он неточен отчасти из-за убывающей предельной полезности денег, а отчасти из-за того, что человек может испытывать особое расположение или нежелание к заключению пари, например, из-за того, что он любит или не любит делать ставки в силу ощущаемого волнения или по любой другой причине. Это затруднение аналогично тому, что имеет место при разделении двух разных, но совместно действующих сил. Кроме того, предложение заключить пари может побудить его изменить свое мнение; точно так мы не могли бы измерить электрическое напряжение, действительно внеся заряд и установив, действию какой силы он подвергается, поскольку внесение заряда изменило бы измеряемое распределение.

С тем чтобы построить теорию значений веры, которая будет одновременно общей и более точной, я предлагаю взять за основу общую психологическую теорию, которую сейчас повсеместно отвергают, но которая тем не менее, я думаю, очень близка к истине в такого рода случаях, которые нам более всего интересны. Я имею в виду теорию, согласно которой мы действуем таким образом, который, как мы полагаем, скорее всего приведет нас к желаемому, так что действия человека полностью детерминируются его желаниями и тем, во что он верит. Эту теорию нельзя согласовать со всеми фактами, но она представляется мне полезным приближением к истине особенно, когда речь идет о нашей сознательной и профессиональной жизни, и именно о ней мы по большей части размышляем. Эту простую теорию многие психологи, очевидно, пожелали бы сохранить, дополнив неосознаваемыми желаниями и неосознаваемыми верованиями с тем, чтобы она больше соответствовала фактам. Насколько подобные фикции помогут достичь желаемого результата, я не берусь судить; я лишь претендую на приблизительную истину или истину применительно к искусственной психологической системе, которая, подобно ньютоновской физике, может, я думаю, использоваться с пользой для дела, даже если мы знаем, что она ложна.

Нужно отметить, что эту теорию не следует отождествлять с психологической теорией утилитаристов, в которой доминирующее положение занимает удовольствие. Согласно предлагаемой мной теории, мы стремимся к чему-то желаемому, а им может быть наше собственное удовольствие или удовольствие других людей или вообще что угодно, и наши действия таковы, что они, как мы полагаем, скорее всего приведут к достижению этого блага. Но это неточная формулировка, ибо точно сформулировать теорию мы сможем только после того, как введем понятие величины веры.

Назовем те вещи, которые человек прежде всего желает, «благами» и примем для начала, что они поддаются числовому измерению и сложению. Иными словами, если человек предпочитает час плавания часу чтения, он предпочтет два часа плавания одному часу плавания и одному часу чтения. Конечно, в данном случае это звучит нелепо, но только потому, что плавание и чтение не являются основными благами и мы не можем представить себе, что второй час плавания точно похож на первый, учитывая усталость и т. п.

Давайте сначала предположим, что наш субъект ни в чем не испытывает сомнений и имеет определенное мнение по всем вопросам. Тогда мы можем сказать, что он всегда будет выбирать тот образ действий, который, по его мнению, приведет к наибольшей сумме благ.

Следует подчеркнуть, что в этой статье благо и зло никогда не истолковываются в каком-либо этическом смысле, но просто обозначают то, чего данный человек желает или то, чего он стремится избежать.

Тогда встает вопрос, как нам следует изменить эту простую систему, чтобы учесть различные степени его веры. Я предлагаю ввести в качестве психологического закона положение, согласно которому поведение человека регулируется тем, что можно назвать математическим ожиданием; иначе говоря, если р – суждение, относительно которого у него есть сомнения, любые благо или зло для достижения которых, с его точки зрения, р является необходимым и достаточным условием, участвуют в его вычислениях, будучи помноженными на одну и ту же дробь, которая называется «степенью его веры в р». Итак, мы определяем степень веры способом, предполагающим использование математического ожидания.

Мы можем сформулировать это по-другому. Допустим, что степень его веры в р равна m / n; тогда его действие является тем, которое он выбрал бы, если бы должен был повторить его точно n раз, из которых в m случаях р было бы истинным, а в остальных случаях ложно. (Здесь, возможно, нужно предположить, что в каждом из n случаев он не помнит предыдущие случаи.).

Это также можно считать определением степени веры и можно легко показать, что оно эквивалентно предыдущему определению. Возьмем в качестве примера случай, который вполне мог бы иметь место. Я стою на развилке и не знаю, куда идти, но склоняюсь к тому, чтобы признать одну из этих двух дорог правильной. Поэтому я решаю пойти этой дорогой, следя за тем, не появится ли кто-нибудь, кого можно было бы спросить; если теперь я вижу в полумиле человека, идущего по полю, то сверну ли я со своей дороги, чтобы спросить его, будет зависеть от того, что является б?льшим неудобством – свернуть с дороги и пересечь поле или продолжать идти неверной дорогой, если она окажется таковой. Но это также зависит от того, насколько я уверен в своей правоте, и ясно, что чем больше я уверен, тем меньшее расстояние я готов преодолеть, чтобы проверить свое предположение. Я предлагаю, таким образом, использовать расстояние, которое я готов пройти, чтобы справиться о дороге, в качестве меры своей уверенности в этом предположении. Сказанное выше ясно показывает, как это можно сделать. Мы можем описать это следующим образом: пусть ущерб от преодоления х ярдов, чтобы справиться о дороге, это f (x), выгоды от достижения пункта назначения – это r, ущерб от достижения неправильного пункта – w. Тогда, если я готов пройти расстояние d, чтобы спросить, то степень моей веры в то, что я на правильной дороге, определяется как.

P =1– f (d) /(r – w).

Ибо таковым является действие, которое мне выгодно было бы предпринять, если бы я должен был действовать одинаковым образом n раз, из которых в np случаях я был бы на правильной дороге, а в остальных случаях – нет.

Общее благо, которое я получаю всякий раз, когда решаю не спрашивать, находясь на расстоянии d от человека, которого могу спросить,

= npr + n (1 – p)w.

= nw + np (r – w).

Общее благо, получающееся, когда я каждый раз решаю спросить,

= nr – nf (x). (Здесь я всегда иду правильно.).

Это будет больше, чем предыдущее выражение при условии, что.

F(x) < (r – w)(1 – p),

Таким образом, предельное расстояние d связано со степенью веры соотношением – f(d) = (r – w)(1 – p) или p =1 – f (d) /(r – w)., как утверждалось выше.

Нетрудно заметить, что этот способ измерения веры дает результаты, согласующиеся с обычными представлениями, по крайней мере с тем, что полная вера обозначается как 1, полная вера в противоречивое суждение – как 0, а равная вера в оба эти суждения – как 1/2. Далее, допускается возможность пари как средства измерить веру. Допуская пари относительно р, мы предоставляем субъекту возможный образ действия, позволяющий ему много получить, если р истинно, или много потерять, если р ложно. Если предположить, что пари заключается не на деньги, а на благо или потери, то он заключит пари при любом шансе большем, чем шанс, соответствующий степени его веры; по сути, его вера измеряется ставками, которые он сделает, однако это рассуждение может оказаться не совсем точным, если учесть отношение человека к переживаемому волнению и тот факт, что пари заключается на деньги, а не просто на благо или зло. Поскольку всеми признается, что деньги имеют падающую предельную полезность, очевидно, что если ставки выражены в деньгах, они должны быть как только возможно мелкими. Но и тогда измерение искажается из-за отношения человека к возможным потерям. Давайте теперь откажемся от того допущения, что благо можно непосредственно измерять и складывать, и попытаемся разработать теорию с минимально возможным числом допущений. Для начала предположим, как и раньше, что наш субъект обо всем имеет определенное мнение, тогда он станет действовать так, чтобы совокупные последствия, которые, как он считает, будет иметь его действие, были наилучшими из возможных. Если бы мы обладали властью Всевышнего и сумели убедить в этом нашего субъекта, мы могли бы предложить ему на выбор все возможные варианты течения событий с тем, чтобы он упорядочил их по степени предпочтения. Таким образом все возможные ситуации были бы упорядочены, но у нас не было бы возможности придать им числовые значения. Было бы бессмысленно утверждать, что разница между ценностью ? и ценностью ? равна разнице в ценности ? и ?. (Здесь и далее мы используем греческие буквы для обозначения различных возможных совокупностей событий – максимальных единых целостностей, между которыми выбирает наш субъект.).

Предположим далее, что субъект способен сомневаться; тогда мы могли бы установить степень его веры в различные суждения, предложив ответить на следующий вопрос. Предпочел бы он в любом случае состояние ? или ?, если р истинно, и состояние ?, если р ложно? Если бы он был полностью уверен в истинности р, он просто сравнил бы ? и ? и выбирал бы между ними, как если бы никаких условий не налагалось; но если бы он испытывал сомнения, его выбор не был бы столь простым. Я предлагаю установить аксиомы и определения, касающиеся принципов, которые определяют выбор такого рода. Это, конечно, весьма схематичное описание ситуации из реальной жизни, но, я думаю, в таком виде ее легче рассматривать.

Сначала нужно разрешить одно затруднение; суждения типа р из приведенного выше примера, используемые в качестве условий в данном выборе, могут быть такими, что субъект может желать, чтобы они были истинными или ложными. Это, как будет показано, усложняет нашу задачу, и нам приходится допустить, что имеются суждения, для которых это не так; мы будем называть их этически нейтральными. Говоря точнее, атомарное суждение р называется этически нейтральным, если две возможные ситуации, различающиеся только истинностью р, всегда имеют равную ценность; а неатомарное суждение р называется этически нейтральным, если все составляющие его атомарные аргументы, относящиеся к его истинности,[698] являются этически нейтральными.

Мы начнем с определения веры степени 1/2 в этически нейтральное суждение. Субъект имеет веру степени 1/2 в такое суждение р, если у него нет предпочтений при выборе между (1) ?, если р истинно, и ?, если р ложно, или (2) ?, если р ложно, и ?, если р истинно, при этом его предпочтения касаются лишь ? и ?. Мы предполагаем в качестве аксиомы, что если это верно в отношении какой-то одной пары ?, ?, то это верно в отношении всех подобных пар.[699] Приблизительно это совпадает с определением веры степени 1/2 как такой, которая имеет следствием то, что при одинаковых ставках человеку безразлично, на что ставить в пари.

Веру степени 1/2, определенную указанным способом, можно следующим образом использовать для числового выражения ценности. Нам нужно объяснить, что означает, что разность между ценностью ? и ценностью ? равна разности между ценности ? и ценности ?, и мы определим это так: если р является этически нейтральным суждением, степень веры в которое равна 1/2, то субъект не имеет предпочтений при выборе между (1) ?, если р истинно, ?, если р ложно, или (2) ?, если р истинно, ?, если р ложно.

Это определение можно положить в основу системы измерения ценности следующим образом.

Назовем любое множество всех состояний, в равной мере предпочтительных данному, ценностью: мы предполагаем, что если состояние ? предпочтительнее ?, то любое состояние, ценность которого такая же, что и ценность ?, будет предпочтительнее любого состояния, имеющего ту же самую ценность, что и ?; и будем говорить, что ценность ? больше, чем ценность ?. Это отношение «больше, чем» позволяет упорядочить ценности. В дальнейшем мы будем использовать ? применительно как к состоянию, так и к его ценности.

Аксиомы.

1. Существует этически нейтральное суждение р, степень веры в которое равна 1/2.

2. Если p, q являются такими суждениями и выбор ?, если р, ?, если не-p, эквивалентен выбору ?, если р, ?, если не-p, тогда выбор ?, если q, ?, если не-p, эквивалентен выбору ?, если q, ?, если не-q.

Def. В указанном случае мы говорим, что ?? = ??.

Теоремы.

Если ?? = ??,

То ?? = ??, ?? = ??, ?? = ??.

2а. Если ?? = ??, то ? > ? эквивалентно ? > ?, и ? = ? эквивалентно ? = ?.

3. Если выбор А эквивалентен выбору В, а выбор В – выбору С, то выбор А эквивалентен выбору С.

Теорема: Если ?? = ?? и ?? = ??, то ?? = ??.

4. Если ?? = ??, ?? = ??, то ?? = ??.

5. (?, ?, ?). Е!(?х)(?х = ??).

6. (?, ?). Е!(?х)(?х = х?).

7. Аксиома непрерывности.

8. Аксиома Архимеда.

Эти аксиомы позволяют поставить ценности в однозначное соответствие с действительными числами, так что если ?1 соответствует ? и т. д., то.

?? = ??. ?.?1 – ?1 = ?1 – ?1.

В дальнейшем мы будем использовать ? также для обозначения соответствующего ему действительного числа ?1.

Определив таким образом способ измерения ценностей, мы можем теперь получить способ измерения веры вообще. Если достоверно, что выбор ? является нейтральным по отношению к выбору ?, если р истинно, и – ?, если р ложно,[700] мы можем определить степень веры субъекта в р как отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для всех ?, ? и ?, удовлетворяющих указанным выше условиям. Это приблизительно совпадает с определением степени веры в р с помощью шансов, когда субъект ставит на р, учитывая, что пари заключается в терминах ценностных различий, определенных выше. Это определение применяется только к неполной вере и не охватывает достоверной веры; для веры степени 1 в р, ? достоверно является нейтральным в отношении ?, если р, и любого ?, если не-p.

Мы способны также дать определение очень полезной новой идеи – «степени веры в р при условии q». Она не означает степень веры в суждение: «если р, то q» или в суждение: «из р следует q» или же степень веры в р, которую имел бы субъект или должен был бы иметь, если бы знал q. Она приблизительно выражает шансы, при которых он поставил бы на р при условии, что пари имело бы силу, только если q истинно. Такие условные пари часто заключались в XVIII в.

Степень веры в р при условии q, измеряется следующим образом. Допустим, что субъект индифферентно относится к выбору между:

1) ?, если q истинно, и ?, если q ложно,

И 2) ?, если р истинно и q истинно, и ?, если р ложно и q истинно,

И ?, если q ложно. Тогда степень его веры в р есть отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для любых ?, ?, ?, ?, удовлетворяющих данным условиям. Это не то же самое, что степень, с которой он верил бы в р, если бы считал q достоверным; ибо знание q могло бы по психологическим причинам серьезно изменить всю систему его мнений и убеждений.

Каждое из наших определений сопровождалось аксиомой совместимости, и как только она нарушается, понятие соответствующей степени веры становится неправомерным. Здесь имеется некоторое сходство с понятием одновременности, о котором говорилось выше.

Я не разработал подробную математическую логику, поскольку, думаю, это было бы подобно вычислению результата с точностью до седьмого знака десятичной дроби, тогда как значим только результат с точностью до двух знаков. От моей логики нельзя ждать большего, чем то, как она может работать.

На основе этих определений и аксиом можно доказать основные законы вероятности для веры в суждение (степени веры находятся в диапазоне от 0 до 1):

1. Степень веры в р + степень веры в не-p = 1.

2. Степень веры в р при условии q + степень веры в не-p при условии q = 1.

3. Степень веры в (р и q) = степени веры в р ? на степень веры в q при условии р.

4. Степень веры в (p и q) + степень веры в (p и не-q) = степень веры в р.

Первые два прямо следуют из определений. Третье утверждение доказывается следующим образом.

Пусть степень веры в р = х, а в q при условии р = y. Тогда ? достоверно ? ? + (1 – x)t, если р истинно, и ? – xt, если р ложно при любом t.

? + (1 – x)t, если р истинно, ?

? + (1 – x)t + (1 – y)u, если ‘p и q’ истинно, и.

? + (1 – x)t – yu, если р истинно, q ложно; при любом u.

Выберем u такое, что ? + (1 – x)t – yu = ? – xt, т. е. пусть u = t/y (y ? 0).

То гд а ? достоверно ?

? + (1 – x)t + (1 – y) t/y, если р и q истинны,

? – xt в противном случае.

Тогда степень веры в ‘ p и.

Если y = 0, пусть t = 0.

Тогда ? достоверно ? ?, если р истинно, и ?, если р ложно.

? ? + u, если р истинно и q истинно; ?, если р истинно, а q ложно; ?, если р ложно.

? ? + u, если рq истинно, ?, если pq ложно.

Тогда степень веры в pq = 0.

Четвертое утверждение следует из второго и третьего:

Степень веры в pq = степень веры в p ? степень веры в q при условии p, согласно (3). Сходным образом степень веры в pq = степени веры в p ? степень веры в не-q при условии р. Тогда их сумма равна степени веры в р, согласно (2).

Это – законы вероятности, которые, как мы доказали, являются необходимо истинными для любого совместимого множества степеней веры. Любое конкретное множество степеней веры, для которого они не выполняются, является несовместимым в том смысле, что нарушаются законы предпочтения вариантов выбора, например закон, согласно которому предпочтительность является транзитивным несимметричным отношением, и если ? предпочтительнее ?, то ? достоверно не может быть предпочтительнее ?, если р, и ?, если не-p. Если бы кто-то из-за своего психического состояния нарушил эти законы, его выбор зависел бы от того, в каком именно виде ему были предложены варианты, и выбор был бы нелепым. Какой-либо хитрец мог бы заключить с этим человеком пари на невыгодных для последнего условиях, и тот проиграл бы при любом исходе.

Таким образом, как мы видим, точное описание природы неполной веры показывает, что законы вероятности – это законы совместимости, распространение на неполную веру формальной логики и логики совместимости. В своем значении они не зависят ни от какой степени веры в суждение, которая однозначно определяется как рациональная вера; они просто выделяют множества мнений (beliefs), которые подчиняются этим законам, поскольку являются совместимыми.

Обладание верой любой конкретной степени подразумевает определенную меру последовательности (совместимости), а именно готовность заключать пари относительно какого-то данного суждения с одним и тем же соотношением (любых) ставок, при том что ставки измеряются в терминах первичных ценностей. Если ваши степени веры в разные суждения подчиняются законам вероятности, это подразумевает дополнительную меру совместимости, а именно совместимость между соотношениями ставок, которые делаются при заключении пари относительно разных суждений, и это препятствует заключению пари на невыгодных для вас условиях.

Возможно, будет уместно сделать несколько замечаний в завершение этого раздела. Во-первых, в нем основной упор делался на пари, но это не будет казаться неуместным, если учесть, что вся наша жизнь в каком-то смысле и есть пари. Когда мы отправляемся на вокзал, мы делаем ставку на то, что поезда действительно ходят, и если бы у нас не было достаточной веры в это, нам следовало бы отклонить это пари и остаться дома. Выбор, который предоставляет нам Бог, всегда зависит от нашего представления о том, является ли истинным некоторое суждение. Во-вторых, я все время основывался на идее математического ожидания; неудовлетворенность, которая часто возникает в связи с ним, проистекает главным образом из неточного измерения благ. Ясно, что математическое ожидание в денежном выражении не является подходящим руководством к действию. Следует помнить при оценке моей теории, что в ней ценность действительно определяется с помощью математического ожидания в случае веры степени 1/2, и поэтому можно ожидать, что она (ценность) будет подходящим образом упорядочена и ее можно будет применять в случае и других степеней веры.

В-третьих, ничего не было сказано о степенях веры, когда число альтернатив бесконечно. По этому поводу я не могу высказать ничего полезного помимо сомнения в способности разума охватывать больше, чем конечное число альтернатив. Можно обсуждать вопросы, на которые может быть дано бесконечно много ответов, но чтобы обсуждать эти ответы, мы должны объединить их в конечное число групп. Эта трудность действительно возникает при обсуждении индукции, но и тогда, как мне кажется, нет необходимости этим заниматься. Мы можем обсуждать вопрос, можно ли на основании нашего опыта говорить о большой вероятности, что солнце взойдет завтра, при этом не задаваясь вопросом, как на основании этого опыта можно оценить вероятность того, что солнце будет вечно всходить каждое утро. По этой причине я не могу не признать неудовлетворительным обсуждение этой проблемы м-ром Ритчи;[701] действительно, мы можем согласиться с тем, что индуктивные обобщения необязательно имеют конечную вероятность, но отдельные ожидания, построенные на индуктивных основаниях, бесспорно, имеют для каждого из нас высокую вероятность. Все мы более уверены в том, что солнце взойдет завтра, чем в том, что при первом моем бросании двух костей выпадет 12, т. е. наша вера в это имеет степень больше – 35/36. Если индукция вообще нуждается в логическом оправдании, то лишь в связи с вероятностью такого рода события.

4. Логика совместимости.

Можно согласиться с тем, что в каком-то смысле дело логики – сказать нам, каких мнений нам следует придерживаться, но при интерпретации этого утверждения возникают значительные трудности. Возможно, она говорит нам, что следует считать истинным, но об этом нам говорит наука в целом, а не только логика. Нельзя в этом случае найти и никакого оправдания неполной веры; в идеальном варианте самое лучшее – это иметь веру степени 1 во все истинные суждения и веру степени 0 во все ложные суждения. Но это слишком высокий эталон для смертных, и нам следует признать, что некоторая доля сомнения или даже ошибки по-человечески оправданна.

Полагаю, многие логики приняли бы в качестве описания их науки вступительные слова м-ра Кейнса к его «Трактату о вероятности»: «Часть нашего знания мы получаем непосредственно, другую же часть – путем рассуждения. Теория вероятности имеет отношение к этой, приобретаемой путем рассуждения части нашего знания, и рассматривает, в какой степени полученные таким образом выводы являются обоснованными или необоснованными» (см. с. 379 наст. изд.). Там, где м-р Кейнс говорит «теория вероятностей», другие сказали бы «логика». Иными словами, считается, что наши мнения можно разделить на те, которые мы получаем непосредственно в процессе восприятия или воспоминания, и те, которые мы получаем из первых путем рассуждения. Задача же логики состоит в том, чтобы принять первый класс мнений и подвергнуть критическому рассмотрению лишь выведение мнений второго класса из мнений первого.

Логику как науку о рассуждении и выводе традиционно и справедливо подразделяют на дедуктивную и индуктивную, но различие и связь между этими двумя разделами можно понимать очень по-разному. Согласно м-ру Кейнсу, правильные дедуктивные и индуктивные рассуждения имеют существенное сходство; и тем и другим оправданием служат логические отношения между посылками и заключением, которые различаются только по степени. Как я уже объяснил, принять эту позицию я не могу. Я не понимаю, в чем состоят эти недоказательные логические отношения и как они могут оправдывать неполную веру. В случае доказательных логических рассуждений я могу согласиться с объяснением их правильности, которое было дано многими авторитетами и которое, как можно видеть, по существу одинаково у Канта, де Моргана, Пирса и Витгенштейна. Все эти авторы сходятся в том, что заключение формально правильного рассуждения содержится в его посылках, что отрицать заключение, принимая при этом посылки, значит противоречить себе; что формальная дедукция не увеличивает нашего знания, а лишь ясно показывает то, что нам известно в иной форме; и что мы все обязаны принять правильность заключения из опасения противоречить самим себе. Логическая связь, оправдывающая такой вывод, состоит в том, что смысл или содержание вывода заключено в посылках.

Но в случае индуктивного рассуждения этого не происходит даже в малейшей степени; его невозможно представить как похожее на дедуктивное рассуждение, но имеющее лишь более слабую степень; глупо утверждать, что смысл заключения частично включен в смысл посылок. Мы можем принимать посылки и совершенно отвергать заключение, не греша никакой непоследовательностью или противоречием.

Поэтому мне представляется, что мы можем разделить рассуждения на два радикально различающихся вида, которые, говоря словами Пирса, можно охарактеризовать как (1) «экспликативные, аналитические или дедуктивные и (2) амплиативные, синтетические или (в широком смысле) индуктивные».[702] Рассуждения второго типа в важном отношении стоят ближе к воспоминаниям и восприятиям, чем к дедуктивным рассуждениям. Мы можем рассматривать восприятие, память и индукцию как три основных способа получения знания; тогда как дедукция представляет собой лишь метод упорядочения нашего знания и устранения несовместимостей или противоречий.

Логика должна тогда распадаться четко на две части: (исключив аналитическую логику, теорию терминов и суждений) мы имеем малую логику, которая является логикой совместимости или формальной логикой, и большую логику, которая является логикой открытия или индуктивной логикой.

Как мы должны теперь заметить, это различие никоим образом не совпадает с различием между достоверной и неполной верой; мы видели, что для неполной веры так же существует теория совместимости, как и для достоверной веры, хотя в силу различных причин первая не так важна, как вторая. Теория вероятности – это, по сути, обобщение формальной логики, но в ходе обобщения разрушается один из наиболее важных принципов формальной логики. Если p и не-q несовместимы, так что q логически следует из р, тогда то, что р имплицирует q, является, по словам Витгенштейна, «тавтологией» и может рассматриваться как вырожденный случай истинного суждения, не предполагающего идею совместимости. Это позволяет нам считать (не вполне корректно) формальную логику, включая математику, объективной наукой, состоящей из объективно необходимых суждений. Таким образом, это дает нам не просто ?????? ??????, т. е. если мы утверждаем р, мы обязаны, чтобы быть последовательными, утверждать также q, но и ?????? ?????,[703] т. е. если р истинно, таковым должно быть и q. Но когда мы расширяем формальную логику, чтобы охватить неполную веру, эта прямая объективная интерпретация утрачивается; если мы верим в pq со степенью 1/3 и в pq со степенью 1/3, мы обязаны, чтобы быть последовательными, верить в не-p также со степенью 1/3. Это ?????? ??????, но нельзя утверждать, что если pq на 1/3 истинно и pq на 1/3 истинно, то не-p также должно быть на 1/3 истинно, ибо это было бы полной бессмыслицей. Здесь нет соответствующего ?????? ?????. Следовательно, в отличие от исчисления для совместимой полной веры, исчисление для объективной неполной веры нельзя напрямую истолковать как совокупность объективных тавтологий.

Этого, однако, можно достичь обходным путем; мы отмечали в начале этой статьи, что исчисление вероятностей может быть истолковано в терминах соотношения двух классов; теперь мы установили, что его также можно истолковать как исчисление для совместимой неполной веры. Поэтому было бы естественно ожидать наличия тесной связи между этими двумя интерпретациями, объясняющей возможность применять одно и то же математическое исчисление к двум настолько разным совокупностям явлений. Объяснение найти нетрудно; существует множество связей между неполной верой и частотой. Например, установленные в опыте частоты часто ведут к соответствующей неполной вере, а неполная вера ведет к ожиданию соответствующих частот в согласии с теоремой Бернулли. Но ни одна из этих связей не является той, которая нам нужна; неполная вера в общем случае не может быть однозначным образом связана с какой-либо действительной частотой, ибо при установлении такой связи рассматриваемое суждение всегда берется как частный случай некой пропозициональной функции. Выбор же пропозициональной функции является в известной мере произвольным, и соответствующая частота будет значительно варьировать в зависимости от этого выбора. С утверждениями некоторых сторонников частотной теории о том, что неполная вера означает неполную веру в суждение о частоте, нельзя согласиться. Но мы обнаружили, что сама идея неполной веры предполагает ссылку на гипотетическую, или идеальную частоту; если принять аддитивность благ, то вера степени m / n – это вера, приводящая к действию, которое было бы наилучшим, если при повторении его n раз в m случаях связанное с этой верой суждение оказалось бы истинным, или, в более кратком выражении, это вера, наиболее уместная для ряда гипотетических случаев, во всем остальном одинаковых, относительно которых рассматриваемое суждение истинно в пропорции m/ n. Именно эта связь между неполной верой и частотой дает нам возможность использовать частотное исчисление в качестве исчисления для совместимой неполной веры. И в каком-то смысле мы можем утверждать, что эти две интерпретации представляют собой объективный и субъективный аспекты одного и того же внутреннего смысла, точно так же как формальная логика может быть объективно истолкована как совокупность тавтологий и субъективно – как законы непротиворечивого мышления.

Я думаю, мы убедимся в том, что этот подход к исчислению вероятностей устраняет разнообразные затруднения, которые до сих пор многих ставили в тупик. Во-первых, он позволяет оправдать аксиомы исчисления, которого совершенно недоставало таким теориям, как теория м-ра Кейнса. Ибо теперь ясно видно, что если неполная вера в одно суждение совместима с неполной верой в другое, они подчиняются этим аксиомам, но совершенно непонятно, почему им должны подчиняться таинственные логические отношения м-ра Кейнса.[704] Удивительным образом нам должны быть неведомы конкретные случаи этих отношений, и столь же удивительным образом оказываются познаваемыми их общие законы.

Во-вторых, теперь мы вполне можем обойтись без принципа индифферентности; мы не относим к формальной логике выяснение того, какими должны быть ожидания человека, относительно того, белый или черный шар он вытащит из урны; его исходные ожидания могут быть какими угодно, но только совместимыми; мы утверждаем лишь, что если у него есть некоторые ожидания, то, чтобы он был последовательным, его другие ожидания должны быть вполне определенными. Здесь просто вероятность согласуется с обычной формальной логикой, которая не занимается критическим анализом посылок, но только объявляет, что совместимыми с ними являются лишь некоторые заключения. Возможность исключить принцип индифферентности из формальной логики – это большое преимущество, ибо совершенно ясно, что нельзя установить чисто логические условия его обоснованности, как это пытается сделать м-р Кейнс. Я не хотел бы подробно рассматривать этот вопрос, поскольку это вылилось бы в буквоедство и бесконечное обсуждение произвольных дистинкций. Но любой, кто попытается с помощью методов м-ра Кейнса определить, какие, собственно, альтернативы следует считать равновероятными в молекулярной механике, например в фазовом пространстве Гиббса, очень скоро убедится, что это задача физики, а не чистой логики. Используя формулу умножения, как она применяется при определении обратной вероятности, мы можем, по теории м-ра Кейнса, свести все вероятности к соотношениям априорных вероятностей; поэтому для последних принцип индифферентности имеет первостепенную важность, но очевидно, что этот вопрос никак не касается формальной логики. Как можно на чисто логических основаниях разбить спектр на равновероятные части?

В-третьих, трудность, которая устраняется в нашей теории, в теории м-ра Кейнса проявляется следующим образом. Я думаю, что воспринимаю или помню что-то, но не уверен в этом; это, видимо, дает мне некоторые основания для веры, хотя это не так по теории м-ра Кейнса, согласно которой для меня было бы рационально иметь степень веры, задаваемую вероятностным отношением между рассматриваемым суждением и тем, что я знаю достоверно. Кейнс не может оправдать неполную веру, основанную не на рассуждении, а на непосредственном рассмотрении. На наш взгляд, в подобной вере нет ничего такого, что шло бы вразрез с формальной логикой; может ли она быть разумной, это зависело бы от того, что я назвал большой логикой и что станет предметом рассмотрения в следующем параграфе; как мы увидим, такая возможность не вызывает возражений, но она не может быть реализована, если мы полагаемся на предлагаемый м-ром Кейнсом метод оправдания неполной веры исключительно через ее связь с достоверным знанием.

5. Логика истины.

Часто правомерность разграничения логики совместимости и логики истины оспаривается; с одной стороны, утверждают, что логическая совместимость является лишь разновидностью фактической совместимости, что если вера в р несовместима с верой в q, то это просто означает, что р и q не являются оба истинными и что это необходимый или логический факт. Сам же я считаю, что это затруднение можно разрешить с помощью теории тавтологий Витгенштейна, согласно которой если вера в р несовместима с верой в q, тогда то, что р и q не являются оба истинными, есть не факт, а тавтология. Но я не намерен здесь обсуждать этот вопрос.

С другой стороны, утверждается, что формальная логика, или логика совместимости, исчерпывает собой всю логику, а индуктивная логика является либо вздором, либо частью естественных наук. Эту точку зрения, которую, как я полагаю, высказал Витгенштейн, на мой взгляд, опровергнуть труднее. Но думаю, было бы очень жаль, если бы из уважения к авторитету мы отказались от попытки сказать что-нибудь полезное об индукции.

Поэтому давайте вернемся к общему представлению о логике как науке о рациональном мышлении. Мы установили, что все общепризнанные разделы логики, а именно формальная логика, математика и исчисление вероятностей, направлены лишь на то, чтобы обеспечить отсутствие внутренних противоречий в наших представлениях. Мы ставим перед собой этот эталон совместимости и выстраиваем тщательно продуманные правила, гарантирующие его соблюдение. Но очевидно, что этого недостаточно: мы хотим, чтобы наши представления не просто были совместимыми друг с другом, но и согласовывались с фактами;[705] и даже не ясно, всегда ли совместимость дает преимущества; возможно, лучше быть правым в чем-то хоть иногда, чем никогда. Не способны мы и быть последовательными всегда, когда хотим этого: есть математические положения, истинность или ложность которых пока не может быть установлена. Однако, возможно, по-человечески правильнее испытывать определенную степень веры в них на индуктивных или иных основаниях: логика, предоставляющая оправдание вере такой степени, фактически должна идти вразрез с формальной логикой, ибо формальная логика может приписать формальной истине только веру степени 1. Мы могли бы доказать, что в теории м-ра Кейнса вероятность такой истины равна 1 при любых свидетельствах. Это, как мне представляется, особенно ясно показывает, что человеческая логика, или логика истины, указывающая людям, как они должны мыслить, не просто не зависит от формальной логики, но иногда даже несовместима с ней.

Несмотря на это, практически во всех философских размышлениях о человеческой логике и, в частности, об индукции можно проследить тенденцию сводить ее каким-либо способом к формальной логике. При этом не утверждается, за редким исключением, что совместимость сама по себе приводит к истине; но совместимость в сочетании с наблюдением и памятью часто наделяют такой способностью.

Поскольку наблюдение изменяет (по крайней мере до некоторой степени) мое мнение о наблюдаемом факте, некоторые из моих степеней веры после наблюдения обязательно оказываются несовместимыми с теми, которые я имел прежде. Мы должны поэтому объяснить, как именно наблюдение должно изменять степени моей веры; очевидно, что если р – наблюдаемый факт, степень моей веры в q после наблюдения должна быть равна степени моей веры в q при условии р, которую я имел до наблюдения, или, согласно закону умножения, должна быть равна частному от деления степени моей веры в pq на степень моей веры в р. Если степени веры изменяются у меня именно так, можно сказать, что при изменении под влиянием наблюдения они остаются совместимыми.

Используя это определение или, по теории м-ра Кейнса, используя закон умножения, мы можем взять мои нынешние степени веры и, учитывая всю совокупность моих наблюдений, установить, из каких исходных степеней веры они были бы получены в ходе такого сохраняющего совместимость изменения. Мои нынешние степени веры можно тогда считать логически оправданными, если логически оправданны соответствующие исходные степени веры. Но вопрос о том, какие исходные степени веры являются оправданными или, согласно теории м-ра Кейнса, каковы в этом случае априорные вероятности, кажется мне лишенным смысла, и, даже если он имеет смысл, я не представляю, как на этот вопрос можно было бы ответить.

Если бы мы даже применили эту процедуру к какому-то человеку и попытались выяснить, так сказать, на каких априорных вероятностях могли бы быть основаны его нынешние мнения, то, очевидно, сочли бы их обусловленными естественным отбором и общей тенденцией приписывать более высокую вероятность более простым альтернативам. Но, как я сказал, я не понимаю, что можно было бы иметь в виду, спрашивая, являются ли эти степени веры логически оправданными. Безусловно, лучше всего было бы заранее иметь достоверное знание о том, что является истинным, а что – ложным, и поэтому, чтобы получить одобрение философа, система исходных мнений должна быть именно такой. Но ясно, что с этим не согласились бы представители критикуемого мной направления. Другой альтернативой является распределение исходных вероятностей в соответствии с чисто формальной теорией, развиваемой Витгенштейном, но раз это не дает оправдания индукции, это не может дать нам и человеческую логику, которую мы пытаемся отыскать.

Попробуем поэтому сформулировать идею человеческой логики, которую не пытаются свести к формальной логике. Логика, как мы можем признать, имеет отношение не к тому, что люди действительно считают, а к тому, что они должны считать или что им было бы разумно считать. Тогда следует спросить, что имеется в виду, когда говорят, что человеку разумно иметь веру такой-то степени в некоторое суждение? Рассмотрим возможные варианты ответа.

Во-первых, иногда имеют в виду нечто такое, что можно выразить с помощью формальной логики; по уже понятным причинам эту возможность мы можем отбросить. Во-вторых, порой это просто означает, что, окажись я на месте этого человека (и не будучи, к примеру, пьяным), я бы имел веру такой степени. В-третьих, иногда подразумевают, что если бы человек мыслил по определенным правилам, которые приблизительно можно назвать «научным методом», он должен был бы иметь веру такой степени. Но, в-четвертых, все это совсем не обязательно, так как люди не всегда верят в научный метод, и подобно тому, как мы спрашиваем: «Разумно ли я рассуждаю?», мы можем спросить: «Правильно ли рассуждает ученый?» Согласно этому последнему истолкованию, как мне представляется, мы можем определить разумное мнение как мнение идеального человека в сходных обстоятельствах. Каким, однако, было бы мнение этого идеального человека? Как отмечалось ранее, наивысшим идеалом было бы всегда иметь истинное мнение и быть уверенным в нем, но этот идеал больше подходит Богу, чем человеку.[706]

Мы должны, следовательно, рассмотреть человеческий разум и установить, что же самое большее мы можем ожидать от него.[707] Человеческий разум, по существу, работает в соответствии с общими правилами или привычками; процесс мышления, не осуществляющийся в согласии с некоторым правилом, был бы просто произвольной цепочкой идей; всякий раз, когда мы выводим А из В, мы делаем это благодаря наличию некоторой связи между ними. Поэтому мы можем сформулировать вопрос об идеале так: «Каковы могли бы быть наилучшие привычки человеческого разума?» На этот большой и не совсем ясный вопрос мы вряд ли сможем ответить, если прежде не ограничим возможные ответы и четко не определим человеческую природу. Мы могли бы представить себе некоторые очень полезные привычки, отличающиеся от тех, которые присущи любому человеку. (Нужно пояснить, что я использую привычку в самом общем возможном смысле, имея в виду просто правило или обычай поведения, включая инстинкт: я не буду проводить различия между приобретенными правилами, или привычками в узком смысле, и врожденными правилами или инстинктами, но намерен всех их одинаково называть привычками.) Таким образом, совершенно общая критика человеческого разума непременно будет расплывчатой и бесполезной, но можно сказать нечто полезное, если сузить предмет рассмотрения следующим образом.

Возьмем привычку к формированию определенного мнения, например, привычку переходить от мнения о том, что гриб желтый, к мнению о том, что он вреден. Тогда мы можем принять в качестве факта то, что некоторый человек имеет такую привычку, и затем спросим, веру какой степени ему лучше испытывать к тому, что данный гриб вреден, когда он видит его перед собой; т. е. принимая, что он будет всегда придерживаться такого мнения относительно всех желтых грибов, мы можем спросить, с какой степенью доверия ему бы следовало бы относиться к тому, что они вредны. И ответ состоит в том, что лучше всего, чтобы степень его веры в то, что желтый гриб вреден, была бы равна доле вредных грибов среди желтых грибов. (Это вытекает из смысла степени веры.) Этот вывод неизбежно является неопределенным и касается всей пространственно-временной области желтых грибов, но едва ли он более неопределен, чем сам вопрос. (Ср. с плотностью газа, состоящего из молекул, в какой-то точке.).

Сформулируем это иначе: всякий раз, когда я делаю вывод, я делаю это в соответствии с некоторым правилом или привычкой. Вывод не дан нам полностью, когда даны посылка и заключение; нам нужно также отношение между ними, благодаря которому совершается вывод. Разум действует по общим законам; стало быть, если он выводит q из р, это в целом имеет место потому, что q является частным случаем функции ?х, а р – соответствующим частным случаем функции ?х, такой что разум всегда выводит ?х из ?х. Поэтому когда мы разбираем не мнения, а процессы, посредством которых они формируются, правило, следуя которому мы делаем вывод, определяет для нас диапазон применения частотной теории. Правило вывода может быть частным, как в случае, когда, увидев вспышку молнии, я жду грома, или общим, как в случае, когда, рассмотрев и обобщив 99 примеров, истинность которых я установил наблюдением, я заключаю, что и 100-й пример также будет истинным. В первом случае процесс определяется привычкой: «После вспышки молнии ожидай грома»; степень ожидания, которую эта привычка должна порождать, равна доле случаев, когда за вспышкой молнии действительно следовал гром. Во втором случае мы имеем более общую привычку на основании 99 наблюдаемых и определенным образом обобщаемых примеров делать вывод, что и 100-й пример также будет истинным; наиболее обоснованная и соответствующая этой привычке степень веры должна быть равна доле всех случаев, когда при истинности 99 примеров 100-й пример также оказывался истинным.

Так, если дано отдельное мнение, мы можем оценить его как хорошее или плохое только на основании его истинности или ложности: если же дана определенная привычка, мы можем оценить ее как хорошую или плохую в соответствии с тем, близка или далека порождаемая ею степень веры к действительной доле случаев, в которых эта привычка приводит к истине. Тогда мы можем оценивать мнения на основе нашей оценки привычек, которые их порождают.

Этот подход можно применить не только к привычкам делать вывод, но также к привычкам наблюдать и запоминать; когда некоторое воспоминание вызывает у нас определенное чувство, мы полагаем, что это воспоминание отражает нечто такое, что действительно произошло с нами, хотя мы и не уверены в этом; степень доверия к нашей памяти бывает разной. Если мы спросим, с какой степенью доверия лучше всего отнестись к какому-то конкретному воспоминанию, вызывающему это определенное чувство, ответ должен зависеть от того, как часто при появлении этого чувства запечатленное в памяти событие действительно имело место.

Среди привычек человеческого разума особенно важное место занимает индукция. Со времен Юма было немало написано по поводу оправдания индуктивных выводов. Юм показал, что они не могут быть сведены к дедуктивным выводам или оправданы с помощью формальной логики. До этого пункта его аргументация представляется мне убедительной, и предположение м-ра Кейнса, что эту аргументацию можно обойти, трактуя индукцию как форму вероятностного заключения, на мой взгляд, принять нельзя. Но считать, что в результате складывается скандальная для философии ситуация, думаю, будет ошибкой.

Нас всех убеждают индуктивные рассуждения, и наше доверие к ним разумно, поскольку мир устроен так, что индуктивные рассуждения в общем и в целом ведут к истинным мнениям. Поэтому мы не можем не доверять индукции, а если бы могли, не видели бы никаких оснований для этого, потому что мы считаем ее надежной процедурой. Верно, что если у кого-то нет привычки к индукции, мы не сможем ему доказать, что он не прав, но в этом нет ничего особенного. Если человек сомневается в своем воспоминании или восприятии, мы не сможем доказать ему, что им следует доверять; требовать доказательства такого рода вещей значит желать невозможного, и то же самое верно в отношении индукции. Она относится к первичным источникам знания, как и память: никто не считает скандалом в философии отсутствие доказательства того, что мир не возник две минуты назад и что все наши воспоминания не являются иллюзией.

Мы все согласны с тем, что если бы человек не использовал индуктивных выводов, он поступал бы неразумно: вопрос только в том, что это означает. На мой взгляд, это означает не то, что этот человек в каком-либо смысле грешил бы против формальной логики или формальной вероятности, а то, что он не владел бы очень полезной привычкой, а без нее он находился бы в намного худшем положении, ибо, скорее всего,[708] значительно реже имел бы истинные мнения.

Это своего рода прагматизм: мы судим об умственных привычках по тому, как они работают, т. е. по тому, являются ли мнения, к которым они приводят, по большей части истинными или истинными чаще, чем мнения, к которым привели бы альтернативные привычки.

Индукция – это очень полезная привычка, и поэтому ее разумно усвоить. Философия же может лишь подвергнуть ее анализу, определить меру ее полезности и установить, от каких особенностей природы она зависит. Неизбежным средством при исследовании этих проблем будет сама индукция, без которой мы были бы беспомощны. И здесь нет никакого порочного круга. Только с помощью памяти мы можем определить, насколько точны наши воспоминания; поскольку эксперименты, которые мы проводим для установления этого, окажутся бесполезными, если они не остаются в нашей памяти.

Рассмотрим в свете сказанного, какого рода предметом является индуктивная или человеческая логика – логика истины. Ее задача состоит в том, чтобы изучать способы мышления и устанавливать, с какой степенью доверия следует к ним относиться, т. е. в какой доле случаев они приводят к истине. При таком рассмотрении от естественных наук ее отличает только более общий характер исследуемых проблем. Она должна заниматься относительной надежностью различных типов научных процедур, таких как поиск каузальных законов с помощью методов Милля,[709] или применение современных математических методов вроде принципа априорности, который использовался при создании теории относительности. Подходящий план для такого исследования можно найти у Милля; я имею в виду не подробности его методов и даже не использование им закона причинности, а его трактовку предмета (индуктивной логики) как совокупности индукций об индукциях, как закона причинности, который управляет менее общими законами и сам обосновывается индукцией через простое перечисление. При оценке различных научных методов индукция через простое перечисление используется как последняя инстанция; мы выбираем наиболее простой закон, согласующийся с фактами, но если мы не обнаружим, что получаемые таким методом законы согласуются не только с теми фактами, для соответствия которым они и были разработаны, но и с другими фактами, нам следует отказаться от этого метода в пользу какого-то другого.