Джон М. Кейнс. Трактат о вероятности (избранные главы)[666].

Глава I. Значение вероятности.

J'ai dit d'une fois qu'il faudrait une nouvelle esp?ce de logique, qui traiteroit des degrees de Probabilit? Leibniz

1. Часть нашего знания мы получаем непосредственно, другую же часть – путем рассуждения. Теория вероятности имеет отношение к этой, приобретаемой путем рассуждения части нашего знания, и рассматривает, в какой степени полученные таким образом выводы являются обоснованными или необоснованными.

В большинстве разделов традиционной академической логики, таких, как теория силлогизмов или геометрия идеального пространства, все рассуждения направлены на то, чтобы продемонстрировать достоверность вывода. Эти рассуждения считаются доказательными. Однако и многие другие рассуждения, которые не претендуют на достоверность, являются вполне рациональными и важными. В метафизике, в науке и в жизни большинство рассуждений, на которых мы по обыкновению основываем нашу рациональную веру, признаются недоказанными в большей или меньшей степени. Таким образом, для философского осмысления этих разделов знания необходимо обратиться к исследованию вероятности.

Путь, который в истории мысли прошла логика, способствовал распространению точки зрения, что вызывающие сомнения утверждения не относятся к ее [логики] предмету. Однако в действительности в нашей интеллектуальной практике мы не уповаем на достоверность и не считаем неразумным прибегать к рассуждениям, которые не являются абсолютно надежными. Если логика исследует общие принципы правильного мышления, то изучение рассуждений, которым разумно придать некоторый вес, относится к ней в той же мере, что и изучение демонстративных рассуждений.

2. Термины достоверный (certain) и вероятный (probable) характеризуют различные степени рациональной веры в отношении некоторого суждения, которую мы испытываем в силу имеющихся у нас разных объемов знания. Все суждения являются истинными или ложными, однако наше знание о них зависит от обстоятельств, в которых мы находимся; и хотя часто удобно говорить о тех или иных суждениях как о достоверных или как о вероятных, такие формулировки отражают связь этих суждений со всем корпусом знания, действительного или гипотетического, но при этом не характеризуют суждения как таковые. В зависимости от того, с каким именно знанием связано это суждение, оно допускает различную степень этой связи, поэтому бессмысленно называть это суждение вероятным, пока не будет определено знание, с которым мы его соотносим.

В этом отношении, следовательно, вероятность может быть названа субъективной. Однако в том значении, которое важно с точки зрения логики, вероятность не субъективна, т. е. она не зависит от человеческих прихотей. Суждение не является вероятным потому, что мы его таковым считаем. Как только факты, определяющие наше знание, даны, тотчас же объективно устанавливается то, что вероятно, а что невероятно при данных обстоятельствах, причем от нашего мнения это уже не зависит. Теория вероятности является, следовательно, логической теорией потому, что она изучает степень веры, которая рациональна в данных условиях, а не просто убеждения отдельных индивидов, которые могут быть, а могут и не быть рациональными.

При данном корпусе непосредственного знания, которое составляет наши исходные посылки, эта теория говорит нам, какие еще разумные заключения, достоверные или вероятные, могут быть посредством правильного рассуждения получены из нашего непосредственного знания. Это предполагает использование чисто логических отношений между суждениями, воплощающими наше непосредственное знание, и суждениями, выражающими опосредованное знание, к которому мы стремимся. Какие именно суждения мы принимаем в качестве посылок в наших рассуждениях, разумеется, зависит от характерных для нас субъективных факторов; но отношения, в которых данные суждения находятся к другим суждениям и которые позволяют нам получать вероятные заключения, являются объективными и логическими.

3. Пусть наши посылки представляют множество суждений h, а заключение – множество суждений а, тогда, если знание h обосновывает рациональную веру степени ? в а, мы будем говорить, что существует вероятностное отношение степени а между а и А.[667]

В обыденной речи мы нередко характеризуем заключение как вызывающее сомнения, недостоверное или только вероятное. Однако, строго говоря, эти термины следует использовать либо применительно к степени нашей рациональной веры (rational belief) в данное заключение, либо применительно к отношению между двумя множествами суждений, знание которого дает нам основание иметь соответствующую степень рациональной веры.[668]

4. От термина «событие», игравшего до сих пор такую важную роль в научном лексиконе рассматриваемой нами области знания, я полностью отказываюсь.[669] Авторы, писавшие о вероятности, обычно обращаются к тому, что они называют «наступлением события». В рамках проблем, которые они сначала исследовали, это не влекло за собой отхода от повседневного словоупотребления. Однако теперь эти выражения оказываются весьма расплывчатыми и двусмысленными; и обсуждение истинности и вероятности суждений, а не вероятности событий, оказывается чем-то большим, нежели просто вербальным уточнением и улучшением.[670]

5. Эти общие соображения вряд ли вызовут серьезные возражения. В ходе обычных рассуждений мы постоянно предполагаем, что знание одного утверждения не доказывает истинности второго, и все же дает некоторые основания, чтобы принять его на веру. Мы утверждаем, что нам следовало бы на основании таких-то данных предпочесть такое-то суждение. Мы требуем рационального обоснования тех утверждений, строгое доказательство которых отсутствует. По сути дела, мы допускаем, что некоторые положения могут быть недоказанными, не будучи тем не менее необоснованными. И по зрелом размышлении оказывается, что информация, передаваемая нами при помощи этих положений, не является абсолютно субъективной. Когда мы утверждаем, что Дарвин приводит веские доводы, чтобы мы согласились с его теорией естественного отбора, мы не просто имеем в виду нашу психологическую склонность к тому, чтобы присоединиться к его точке зрения; очевидно, мы намереваемся при этом выразить нашу уверенность в том, что мы ведем себя рационально, рассматривая его теорию как весьма вероятную. Мы считаем, что имеется некоторое реальное объективное отношение между данными, известными Дарвину, и его выводами; оно не зависит от простого факта нашей веры в него и является таким же реальным и объективным, пусть и в иной степени, как и отношение, которое существовало бы, будь обоснование таким же доказательным, как силлогизм. По сути дела, мы претендуем на правильное постижение логической связи между одним множеством суждений, которые мы называем свидетельствами (evidence) и которые, как мы полагаем, нам известны, и другим множеством суждений, которые мы называем нашими заключениями и которым мы придаем больший или меньший вес в зависимости от оснований, сообщаемых первым множеством. Именно на этом типе объективной связи между множествами суждений – типе, который, как мы считаем, правильно нами понимается, когда мы делаем подобные утверждения, – и должно быть сосредоточено внимание читателя.

6. Мы не исказим смысла слов, если будем говорить об этом как о вероятностном отношении. Верно, что математики использовали этот термин в более узком смысле, поскольку они часто ограничивали его применение специальным классом случаев, при которых оно допускает алгебраическое выражение. Однако как общеупотребимое это слово никогда не имело такого узкого значения.

Те, кто изучают вероятность в том смысле, который имеют в виду авторы стандартных трактатов по Wahrscheinlichkeitsrechnung или Calcul des probabilit?s,[671] найдут, что в конечном счете я касаюсь знакомых им сюжетов. Однако, пытаясь разобраться с принципиальными трудностями, с которыми сталкиваются все, изучающие математическую теорию вероятностей, и которые, как известно, остаются нерешенными, мы должны начать с начала (или почти с начала) и рассмотреть наш предмет более широко. Как только математическая вероятность перестает быть самой обычной алгеброй или начинает претендовать на руководство нашими решениями, она немедленно сталкивается с проблемами, против которых ее собственное оружие оказывается совершенно бессильным. И даже если мы в дальнейшем хотели бы использовать понятие вероятности в узком смысле, все же полезно вначале узнать, что оно значит при более широком толковании.

7. Итак, между двумя множествами суждений существует отношение, в силу которого, если нам известно первое из множеств, мы можем соотнести со вторым некоторую степень рациональной веры. Это отношение и составляет предмет вероятностной логики.

Множество недоразумений и ошибок возникло из-за неспособности должным образом учесть этот реляционный аспект вероятности. Из посылок: «из а вытекает о» и «а истинно» мы можем заключить нечто о b – а именно, что о истинно – причем это нечто не будет связано с а. Но если а связано с о так, что знание об а делает веру в вероятность о рациональной, мы не можем заключить о b ничего, что не отсылало бы нас к a; и неверно, что любое множество совместимых друг с другом посылок, которое содержит а, имеет одно и то же отношение к b. Поэтому говорить: «о вероятно», так же бесполезно, как говорить: «о равно» или «о больше, чем», а утверждать, что поскольку а делает о вероятным, то a и с вместе делают о вероятным, так же безосновательно, как и утверждать, что поскольку а меньше о, то ? и с вместе меньше о.

Таким образом, если в обыденной речи мы именуем некую точку зрения вероятной без дальнейших уточнений, то чаще всего мы выражаемся эллиптически.[672] Мы считаем ее вероятной, когда в нашем сознании явно или неявно присутствуют некоторые соображения, которые мы принимаем в расчет. Мы используем это слово (вероятная) для краткости точно так же, как, например, говорим, что некоторая местность в трех милях, подразумевая, что она в трех милях от того места, где мы находимся, или от некоторой исходной точки, которую имеем в виду. Ни одно высказывание не является само по себе ни вероятным, ни невероятным точно так же, как ни одно место не может быть «удаленным» само по себе; и вероятность определенного утверждения варьируется в зависимости от представленных фактов и доказательств, которые являются, так сказать, исходным пунктом, к которому оно отсылает. Мы можем сосредоточить внимание на имеющемся у нас знании и, относясь к нему как к исходному пункту, рассмотреть вероятности всех остальных предположений (в соответствии с обычной практикой, которая ведет к эллиптической форме обыденной речи). Точно таким же образом мы можем сосредоточиться на предлагаемом заключении и рассмотреть, какую степень вероятности можно было бы ему придать при различных наборах посылок, которые могут образовать корпус знания, имеющегося у нас или у других, а могут быть просто гипотезами.

Можно показать, что этот подход вполне согласуется с тем, что нам известно из опыта. Нет ничего нового в предположении, что вероятность того, что теория истинна, зависит от фактов, свидетельствующих в ее пользу; и часто утверждают, что некоторая точка зрения была вероятной на основании первых попавшихся фактов, однако после получения дополнительной информации оказалась неправомерной. Если знание или гипотезы изменяются, наши заключения получают новые вероятности, но не сами по себе, а по отношению к новым посылкам. Становятся важными новые логические отношения, а именно между заключениями, которые мы исследуем, и нашими новыми предположениями; однако старые отношения между заключениями и прежними предположениями по-прежнему существуют и являются такими же реальными, как и новые. Отрицать, что некоторая точка зрения была вероятной до того, как на более позднем этапе выявились определенные противоречащие ей сведения, было бы так же абсурдно, как и отрицать, прибыв на место назначения, что оно когда-то было отдалено от нас на расстояние в три мили; и эта точка зрения по-прежнему является вероятной по отношению к прежним гипотезам, подобно тому как место назначения по-прежнему отстоит на три мили от нашего исходного пункта.

8. Дать определение вероятности невозможно, если только мы не примем определение степеней вероятностного отношения через степени рациональной веры. Мы не можем анализировать вероятностное отношение, используя более простые понятия. Как только мы перейдем от логики импликаций и категорий истины и лжи к логике вероятности и категориям знания, незнания и рациональной веры, так в центре внимания окажется новое логическое отношение, к которому мы прежде не проявляли никакого интереса, хотя оно и является логическим, и которое невозможно объяснить или определить, пользуясь прежней системой понятий.

Сущность рассматриваемой проблемы не позволяет строго доказать эту точку зрения. Доводы в ее пользу отчасти проистекают из невозможности дать соответствующее определение, отчасти же – из того, что соответствующее понятие представляется нам чем-то новым и независимым. Если утверждение о том, что некоторая точка зрения была вероятной на основании первых попавшихся фактов, однако после получения дополнительной информации оказалась неправомерной, связано не только с психологической уверенностью, то возникает вопрос, как следует определять элемент логического сомнения, или как должна быть выражена его сущность в терминах других неопределяемых понятий формальной логики. Предпринятые до сих пор попытки дать это определение критически рассмотрены в последующих главах. Я не думаю, что хотя бы одна из них адекватно отражает то особое логическое отношение, которое возникает в нашем сознании, когда мы говорим о вероятности того или иного вывода.

По-видимому, в подавляющем большинстве случаев термин «вероятный» используется разными людьми для характеристики одного и того же понятия. Мне представляется, что причина различий во мнениях кроется не в многозначности языка. В любом случае, потребность уменьшить число неопределяемых понятий логики часто может зайти слишком далеко. Даже если в конце концов определение может быть найдено, нет ничего плохого в том, чтобы отложить это до того момента, когда мы достаточно углубимся в предмет нашего исследования. Когда речь идет о «вероятности», объект, возникающий в нашем сознании, настолько хорошо знаком, что опасность из-за отсутствия определения неверно его охарактеризовать меньше, чем если бы речь шла о чем-то весьма абстрактном, непривычном для нашего мышления.

9. Эта глава была нам нужна, чтобы кратко охарактеризовать, хотя и не определить точно, предмет данной книги. Ее задачей было подчеркнуть существование логического отношения между двумя множествами суждений в случае, когда невозможно осуществить доказательный переход от одному к другому. Эта точка зрения имеет принципиальное значение. Она не является совершенно новой, однако редко была должным образом представлена, на нее часто не обращали внимания, а иногда и не признавали за ней права на существование. Будет ли принята точка зрения, согласно которой вероятность проистекает из существования особого отношения между посылкой и заключением, зависит от понимания истинного характера понятия вероятности. Объектом нашего обсуждения под названием «Вероятность» будут основные свойства данного отношения. Однако вначале нам следует отступить от [заявленного] порядка рассмотрения и кратко остановиться на том, что мы понимаем под знанием, рациональной верой и рассуждением.

Глава 2. Вероятность и теория познания.

1. Я не хотел бы углубляться в вопросы эпистемологии, ответы на которые мне неизвестны; кроме того, мне хотелось бы как можно скорее подойти к особому разделу философии или логики, являющемуся предметом этой книги. Но некоторое объяснение необходимо, чтобы читатель понимал, из чего исходит автор; поэтому я выйду за пределы того, что было намечено или предполагалось в первой главе.

2. Прежде всего существует различие между той частью нашей веры, которая является рациональной, и той частью, которая таковой не является. Если человек в чем-то уверен, имея для этого нелепые основания или вовсе их не имея, а то, в чем он уверен, оказывается истинным по какой-то неизвестной ему причине, нельзя сказать, что его вера в это является рациональной, хотя то, чему он верил, в самом деле истинно. Вместе с тем человек может на разумных основаниях считать какое-то суждение вероятным, хотя на самом деле оно ложно. Таким образом, различие между рациональной верой и просто верой – не то же самое, что различие между истинным и ложным мнением. Наивысшая степень рациональной веры, именуемая достоверной рациональной верой, соответствует знанию. Можно сказать, что мы знаем нечто, если мы обладаем достоверной рациональной верой в это, и наоборот. По некоторым причинам, которые станут понятными после того, как в следующем параграфе мы рассмотрим степени рациональной веры, знание предпочтительно рассматривать как фундаментальную [категорию] и через нее определять рациональную веру.

3. Далее мы рассмотрим различие между той частью рациональной веры, которая достоверна, и той, что является лишь вероятной. Вера, рациональна она или нет, допускает различные степени. Наивысшая степень рациональной веры, или рациональная достоверность нашей веры, и ее отношение к знанию были рассмотрены выше. Каково же отношение к знанию различных степеней рациональной веры?

Суждение (например, q), которое составляет предмет нашего знания в этом случае, не тождественно суждению (например, р), в отношении которого у нас имеется рациональная вера определенной степени (скажем, ?). Если свидетельства, на которых мы основываем нашу веру – это h, тогда т?, что мы знаем, а именно q, состоит в том, что суждение р находится в вероятностном отношении степени ? ко множеству суждений h; и это наше знание оправдывает нашу рациональную веру степени ? в суждение р. Удобно называть суждения, такие, как р, которые не содержат утверждений о вероятностных отношениях, «первичными суждениями»; в то время как суждения такие, как q, которые утверждают существование вероятностного отношения, – «вторичными суждениями».[673]

4. Таким образом, знание суждения всегда соответствует достоверной рациональной вере в него и одновременно означает истинность самого этого суждения. Мы не можем знать суждение, если оно не является на самом деле истинным. Вместе с тем вероятностная степень рациональной веры в суждение имеет своим источником знание некоторого соответствующего вторичного суждения. Человек может рационально считать некое суждение вероятным, когда оно на самом деле ложно, если вторичное суждение, на которое оно опирается, истинно и достоверно; в то же время нельзя рационально считать суждение вероятным, даже если на самом деле оно истинно, если вторичное суждение, на которое мы опираемся, не является истинным. Таким образом, рациональная вера любой степени может возникать только на основе знания, хотя это знание может быть знанием суждения, являющегося вторичным в указанном выше смысле по отношению к суждению – предмету нашей рациональной веры.

5. На данном этапе желательно соотнести те три значения, в которых до сих пор мы использовали термин «вероятность». Я полагаю, что в своем наиболее фундаментальном смысле этот термин обозначает логическое отношение между двумя множествами высказываний, которое в первой главе (пункт 4) я назвал вероятностным отношением. Именно оно и будет меня интересовать в большей части данного трактата. В качестве производного мы принимаем тот смысл термина «вероятный», в котором он, как и ранее, употребляется для обозначения степеней рациональной веры, возникающих на основе знания вторичных суждений, утверждающих существование вероятностных отношений в фундаментальном логическом смысле. Кроме того, часто оказывается удобным, и это не обязательно приводит к ошибкам, использовать термин «вероятный» применительно к суждению, которое является предметом рациональной веры, имеющей некоторую степень вероятности, и которое находится в вероятностном отношении к суждениям, содержащим свидетельства в его пользу.

6. Теперь я перехожу к различиям между непосредственным и опосредованным знанием, т. е. в том, во что мы рационально верим, мы будем различать часть, которая непосредственно нам известна, и часть, которую мы получаем путем рассуждения.

Мы начинаем с предметов, относящихся к различным классам, с которыми, как я буду говорить, не используя другие значения этого термина, мы непосредственно знакомы. Знакомство с подобными предметами само по себе не составляет знания, хотя знание возникает из знакомства с ними. Наиболее важные классы предметов, с которыми мы непосредственно знакомы, это наши собственные ощущения, которые мы, можно сказать, испытываем, идеи или значения, о которых мы размышляем и которые мы, как можно выразиться, понимаем, а также факты, характеристики и отношения чувственных данных или значений, которые мы, можно сказать, воспринимаем. Таким образом, опыт, понимание и восприятие оказываются тремя формами непосредственного знакомства.

Объекты знания и веры – в противоположность объектам непосредственного знакомства, которые я именую ощущениями, значениями и восприятиями – я буду называть суждениями.

Наше знание суждений мы получаем, по-видимому, двумя способами: напрямую, путем созерцания объектов ознакомления; и опосредовано, путем рассуждения, через восприятие вероятностного отношения суждения, знание которого мы пытаемся получить, к другим суждениям. В последнем случае мы получаем, по крайней мере вначале, знание не самого этого суждения, а вторичного суждения, его содержащего. Если нам известно вторичное суждение, содержащее суждение ? в качестве предмета, то можно сказать, что мы обладаем косвенным знанием о р.

Опосредованное знание о р может при подходящих условиях привести к рациональной вере в р соответствующей степени. Если эта степень соответствует достоверности, то у нас имеется не просто опосредованное знание о р (about p), но и опосредованное знание самого р (of p).

7. Приведем примеры опосредованного знания. От знакомства с ощущением желтого я могу непосредственно перейти к знанию суждения: «У меня есть ощущение желтого». От знакомства с ощущением желтизны, а также понимая смысл слов «желтый», «цвет», «существование», я способен перейти к непосредственному знанию суждений: «я понимаю значение «желтого», "мое ощущение желтого существует", "желтый – это цвет"». Таким образом, в ходе некоторого мыслительного процесса, который сложно описать, мы способны перейти от непосредственного знакомства с предметами к знанию суждений о тех вещах, которые мы ощущаем и значение которых мы понимаем.

Далее, размышляя о суждениях, которые являются предметом нашего непосредственного знания, мы способны опосредованно перейти к знанию других суждений или к знанию о них. Мыслительный процесс, посредством которого мы переходим от непосредственного знания к опосредованному, в некоторых случаях и до определенной степени поддается анализу. Мы переходим от знания суждения а к знанию о суждении b, когда осознаем логическое отношение между ними. С этим логическим отношением мы знакомы непосредственно. Логика познания обычно занимается изучением тех логических отношений, непосредственное знакомство с которыми позволяет получить непосредственное знание вторичного суждения, утверждающего о наличии вероятностного отношения, а значит, и опосредованное знание о первичном суждении (а в некоторых случаях и знание самого этого суждения).

Однако в случае опосредованного знания не всегда можно проанализировать мыслительный процесс или указать, благодаря восприятию какого логического отношения мы перешли от знания одного суждения к знанию о другом. Но хотя в некоторых случаях мы, как кажется. непосредственно переходим от одного суждения к другому, я склонен полагать, что во всех допустимых переходах такого рода между суждениями должно существовать некоторое логическое отношение соответствующего типа, даже когда мы явным образом его не осознаем. В любом случае, каждый раз, когда мы переходим к знанию об одном суждении, размышляя о нем в его отношении к другому суждению, которое мы знаем – даже если этот процесс невозможно проанализировать, – я называю его рассуждением. Знание, подобное тому, которым мы обладаем в обыденной жизни, когда переходим от одного высказывания к другому, не будучи в состоянии сказать, какие логические отношения между ними (если таковые вообще существуют) мы осознаем, – такое знание можно назвать незавершенным. Знание же, которое является результатом четкого понимания значимых логических отношений, можно назвать знанием в собственном смысле слова.

8. Таким образом, я различаю непосредственное и опосредованное знание, т. е. рациональную веру, основанную на непосредственном знании, и рациональную веру, основанную на рассуждении. Нелегко установить, суждение о каких типах предметов мы можем знать непосредственно. Чаще всего соглашаются с тем, что мы имеем непосредственное знание о нашем собственном существовании, наших чувственных данных, о некоторых логических идеях и логических отношениях. Чаще всего полагают, что мы не имеем непосредственного знания о законе гравитации, о том, как выглядит обратная сторона луны, о лечении туберкулеза или о содержимом справочника Брэдшоу.[674] Однако возникает множество вопросов. Невозможно дать однозначный ответ на вопросы о том, с какими логическими идеями и отношениями мы знакомы непосредственно, можем ли мы вообще непосредственно знать о существовании других людей, когда мы знаем суждения чувственных данных непосредственно или когда интерпретируем их. Более того, существует еще один весьма своеобразный вид производного знания – знания по памяти.

В любой момент в нашей памяти содержится значительная часть знания, которое не является ни непосредственным, ни полученным путем рассуждения – мы просто помним нечто. Мы можем помнить это как знание, но забыть о том, как мы его получили изначально. То, что мы когда-то знали, а теперь осознанно помним, вполне может быть названо знанием. Однако нелегко провести границу между осознанной памятью, неосознанной памятью, или привычкой, и чистым инстинктом, или иррациональными ассоциациями идей (приобретенных или унаследованных) – последние нельзя называть знанием, ибо в отличие от первых двух инстинкт (по крайней мере у нас) не возникает на основе знания. Особенно сложно разграничить разные способы возникновения наших мнений в случае, когда речь идет о том, что говорят нам наши глаза. Таким образом, мы не всегда можем сказать, что является знанием нашей памяти, а что не является знанием вообще; а когда знание содержится в памяти, мы не всегда помним, было ли оно изначально непосредственным или опосредованным.

Хотя в этой книге я в основном буду заниматься знанием, полученным путем рассуждения, существует одна разновидность непосредственного знания, а именно знание вторичных суждений, которого я не могу не коснуться. В любом рассуждении знание вторичного суждения, которое делает само рассуждение правомерным и рациональным, может быть только непосредственным. Если у нас имеется знание о чем-то, полученное путем рассуждения, то это неизбежно происходит благодаря непосредственному ознакомлению с логическом отношением между заключением и посылкой. Таким образом, в любом знании существует элемент непосредственного; и логика никогда не может быть чисто механической. Все, на что она способна, – это упорядочить рассуждение таким образом, чтобы логические отношения, которые должны восприниматься непосредственно, стали явными и простыми.

9. Следует добавить, что термин «достоверность» (certainty) иногда используется в психологическом смысле как уверенность, чтобы описать состояние сознания, не обращаясь к логическим основам рациональной веры. Подобными вопросами я не занимаюсь. Термин «достоверность» (certainty) используют для описания наивысшей степени рациональной веры; именно такой смысл соответствует нашей цели. Своеобразие достоверности состоит в том, что достоверное знание вторичного суждения наряду со знанием того, что для этого вторичного суждения выступает в качестве свидетельства, ведет к знанию соответствующего первичного суждения, а не просто к знанию о нем. Вместе с тем знание вторичного суждения, предполагающее степень вероятности более низкую, чем достоверность, наряду со знанием посылки для вторичного суждения, ведет лишь к рациональной вере соответствующей степени в это первичное суждение. Знание, присутствующее во втором случае, я назвал знанием о (about) первичном суждении, или заключением из рассуждения, в отличие от знания самого суждения (of).

Мы можем сказать о вероятности лишь то, что она представляет собой более низкую степень рациональной веры, нежели достоверность; и если угодно, можно утверждать, что она имеет отношение к степени достоверности.[675] Или же мы можем считать вероятность более фундаментальной категорией из этих двух и рассматривать достоверность как частный случай вероятности, фактически как максимальную вероятность. Выражаясь не очень строго, мы можем сказать, что если наши посылки делают заключение достоверным, то оно следует из посылок; а если они делают его весьма вероятным, то оно почти следует из них.

Иногда полезно употреблять термин «невозможность» как негативный коррелят «достоверности», хотя он порой вызывает иные ассоциации. Если а достоверно, то суждение, противоречащее а, невозможно. Если знание а делает b достоверным, то оно же делает суждение, противоречащее b, невозможным. Таким образом, суждение невозможно по отношению к данной посылке, если оно ею опровергается; при этом отношение невозможности есть отношение минимальной вероятности.[676]

10. Мы разграничили веру рациональную и иррациональную, а также указали на различие между тем, чему мы верим и что является достоверным, и тем, чему мы рационально верим и что является только вероятным. Мы разграничили знание в зависимости от того, является ли оно непосредственным или опосредованным, является ли оно знанием первичных или вторичных суждений, и является ли оно знанием предмета или только знанием о предмете.

Для того чтобы мы могли обладать рациональной верой в суждение р, имеющей степень достоверности, необходимо, чтобы выполнялось одно из двух условий: i) чтобы мы имели непосредственное знание p; или ii) чтобы мы знали множество суждений h, а также некоторое вторичное сужение q, утверждающее существование отношения достоверности между p и h. В последнем случае h может содержать как вторичное, так и первичное суждение, однако необходимо, чтобы все они были известными. Чтобы мы могли иметь рациональную веру в p меньшей степени вероятности, чем достоверность, необходимо, чтобы мы знали множество суждений h, а также некоторое вторичное суждение q, утверждающее наличие вероятностного отношения между p и h.

В приведенном выше изложении не была учтена еще одна возможность. Предполагалось, что мы не можем обладать рациональной верой в р, имеющей степень меньшую, чем достоверность, иначе как зная вторичное суждение предписанного типа. Подобная вера может возникнуть только, так сказать, посредством восприятия некоторого вероятностного отношения. Говоря обычным языком (хотя использование терминов в общеупотребимом смысле идет вразрез с тем, что было одобрено выше), я предполагал, что все непосредственное знание достоверно. Все знание, которое получено, так сказать, в результате непосредственно созерцания без примеси каких-либо рассуждений или рассмотрения логического отношения какого-либо другого знания к данному, соответствует достоверной рациональной вере, а не просто вероятностной степени рациональной веры. Верно, что когда источником нашей веры является только лишь знание-знакомство, кажется, что можно говорить о степенях знания и рациональной веры, подобно тому как это имеет место, когда знание получено путем рассуждения. Но я полагаю, что подобное представление порождено отчасти сложностью разграничения непосредственного и опосредованного знания, а отчасти смешением вероятного знания и неопределенного (vague) знания. У меня нет возможности здесь анализировать значение последнего. Но, разумеется, это не то же самое, что знание в собственном смысле, будь-то вероятное или достоверное, и его, видимо, вряд ли можно подвергнуть строгому логическому анализу. Но как бы то ни было, я не знаю, как рассматривать такое знание, и, несмотря на его важность, не стану еще более усложнять свой предмет, пытаясь дать адекватную трактовку неопределенного знания.

Я допускаю, что только истинные суждения могут быть известными, что термин «вероятное знание» должен быть заменен термином «вероятная степень рациональной веры» и что вероятная степень рациональной веры не может возникнуть непосредственно, но только в результате рассуждений, на основе знания, так сказать, вторичного суждения, утверждающего наличие некоторого логического вероятностного отношения, в котором предмет веры находится к некоторому известному суждению. Но моя теория не может в неизменном виде применяться к рассуждениям (если таковые имеются), которые могут быть названы «вероятным знанием» и исходные посылки которых получены иным способом, нежели описанный выше.

Для обозначения объектов достоверной рациональной веры, которая основана на непосредственном знании, в отличие от достоверной рациональной веры, возникшей опосредованно, имеется устоявшееся выражение; суждения, в которых наша рациональная вера является одновременно достоверной и непосредственной, принято называть самоочевидными.

11. В заключение можно кратко коснуться относительности знания отдельного индивида. Некоторая область знания – знание о нашем собственном существовании или о данных наших ощущений – очевидно относится лишь к нашему индивидуальному опыту. Мы не можем говорить о знании в абсолютном смысле, а лишь о знании отдельного человека. Другие области знания, например, знание логических аксиом, может казаться более объективным. Но я думаю, следует признать, что и оно должно рассматриваться как относительное – связанное со складом ума человека, который может до некоторой степени варьироваться от одного индивида к другому. То, что является само собой разумеющимся для меня, и что я действительно знаю, может быть для вас лишь вероятным или вообще не принадлежать к тому, что составляет предмет вашей рациональной веры. И это может быть справедливо не только в отношении таких вещей, как мое существование, но и некоторых логических аксиом. Некоторые люди – и это действительно так – могут обладать более развитой логической интуицией, чем другие. Более того, различие между теми разновидностями суждений, которые, по-видимому, подвластны человеческой интуиции, и теми, о которых этого сказать нельзя, может всецело зависеть от склада нашего ума и не иметь никакого значения для совершенно объективной логики. Мы можем предполагать, что все истинные вторичные суждения являются или должны быть всем известны, но для этого у нас не больше оснований, чем для предположения о том, что нам известны все истинные первичные суждения. Восприятие некоторых вероятностных отношений может оказаться непосильным для некоторых из нас или вообще для всех.

То, что мы знаем, и то, какую вероятность мы можем приписать нашим рациональным мнениям, является, таким образом, субъективным, т. е. зависящим от индивида. Однако при данной совокупности посылок, которые определяются нашими субъективными способностями и другими обстоятельствами, а также при заданном типе логических отношений, на которых могут основываться наши рассуждения и которые мы способны воспринять, заключения, к которым мы можем рационально прийти, находятся по отношению к исходным посылкам в совершенно логическом и объективном отношении. Логика изучает, как из ограниченной совокупности посылок при помощи последовательности строго определенных шагов прийти к заключениям.

После этих кратких замечаний по поводу отношения вероятности, как я ее понимаю, к теории знания я перехожу от проблем первоначального анализа и определений, которые не являются основным предметом моей книги, к логической теории и надстройке, которые занимают промежуточное положение между этими элементарными проблемами и следствиями теории, принимают ли они обобщенную математическую форму или являются частными и конкретными. Я бы лишь усложнил изложение, не добавив ему ясности и четкости, если бы стал использовать абсолютно строгие термины и мельчайшие нюансы языка, которые необходимы при фундаментальных исследованиях. Стремясь не допустить ни малейшего расхождения между тем, что было сказано в этой главе, и тем, что последует, и стремясь использовать только перифразы, которые можно при желании выразить совершенно точно, я не буду отказываться от удобных, но не совсем точных выражений, которые обычно использовались авторами, писавшими на эти темы раньше, и которые имели то преимущество, что они, по крайней мере в целом, легко воспринимались читателем.[677]

Глава 3. Измерение вероятностей.

1. Я говорил о вероятности как об относящейся к степеням рациональной веры. Эта формулировка предполагает, что вероятность в некотором смысле носит количественный характер и поддается точному измерению. Поэтому теория вероятностных суждений должна была бы заниматься в основном сравнением суждений по степени их «весомости». На этом вопросе мы сейчас и сосредоточимся.

До сих пор считалось очевидным, что вероятность в полном и буквальном смысле этого слова измерима. Мне придется не расширить, а сузить распространенные концепции. Оставляя пока в стороне мои собственные соображения, я начну с рассмотрения некоторых точек зрения на эту проблему.

2. Иногда предполагается, что провести численное сравнение степеней вероятности двух любых событий возможно не только теоретически, но и практически. К примеру, Бентам в своей работе «Логическое обоснование судебного доказательства»[678] предложил шкалу, на которой свидетельства можно было бы располагать сообразно степени их достоверности, а остальные ученые всерьез предлагали ввести «барометр вероятности».[679]

Было широко распространено представление, согласно которому такое сравнение теоретически возможно вне зависимости от того, можем ли мы в действительности осуществить его в каждом конкретном случае. Следующая цитата[680] наилучшим образом выражает эту точку зрения:

«Я не вижу, на основании чего можно сомневаться в том, что каждое состояние веры в истинность выдвинутой гипотезы само по себе может быть выражено численно, как бы трудно или невозможно ни было определение его конкретного значения. Сложно оценить в цифрах vis viva (жизненную силу) всех частиц человеческого тела в любой момент времени; но никто не усомнится в том, что она может иметь численное выражение. Я упоминаю об этом, поскольку не уверен, что профессор Форбс различает трудность установления факта численного значения в некоторых случаях и предполагаемую трудность выражения с помощью чисел. Первая трудность действительно существует, но зависит лишь от наших знаний и умений; а вторая, если бы она существовала, имела бы абсолютный характер и была бы неотъемлемой частью предмета исследования, в действительности же, как мне представляется, дело обстоит не так».

Де Морган также придерживался этого мнения на том основании, что тогда, когда мы имеем дело с какой-либо градацией, численное сравнение должно быть теоретически возможно.[681] Иными словами, он допускает, что все вероятности могут быть упорядочены, и заключает из этого, что они должны быть исчисляемы. Однако философы, являющиеся математиками, едва ли согласятся с тем, что, даже если посылка верна, то заключение с необходимостью следует из нее. Объекты могут быть расположены в таком порядке, который можно назвать порядком степени или значения, и при этом невозможно представить себе систему, позволяющую измерить различия между отдельными объектами.

Такого мнения могли придерживаться и другие, помимо Де Моргана, отчасти из-за узкого понимания вероятности. Исчислению вероятности было уделено гораздо больше внимания, чем ее логике, и математики, не будучи обязаны исследовать предмет в целом, естественным образом сосредоточили свое внимание на тех особых случаях, существование которых будет продемонстрировано позже, когда станет возможным их алгебраическое выражение. Поэтому теоретики стали связывать вероятность с теми проблемами, при рассмотрении которых мы имеем дело со взаимоисключающими равновероятными альтернативами; и принципы, применяемые при исследовании таких случаев, почти без дальнейшего анализа были признаны общезначимыми.

3. Дело еще и в том, что были предложены и получили распространение такие теории вероятности, согласно которым количественный характер вероятности с необходимостью проявился в самом ее определении. Например, часто говорят, что вероятность – это отношение числа «благоприятных исходов» к их общему числу. Если это определение точно, из него следует, что каждое значение вероятности может быть представлено числом и фактически числом иявляется; поскольку отношение – это вовсе не количество. Так же и в случае с определениями, основанными на статистической частоте, – там каждому значению вероятности должно соответствовать численное отношение. Эти определения и основанные на них теории будут рассмотрены в главе 8, они связаны с фундаментальными разногласиями среди ученых, перегружать которыми данное рассуждение нет необходимости.

4. Если перейти от воззрений теоретиков к опыту, который имеется у людей, связанных с практикой, то, возможно, следует сказать, что здесь предпочтение числового измерения вероятности может быть связано с практикой заключения страховых договоров и с готовностью компании Ллойда страховать практически любой риск. Можно при желании убедиться в том, что страховщики действительно готовы в любом случае объявить численную величину и подкрепить свою точку зрения деньгами. Но эта практика указывает лишь на то, что зачастую вероятности больше или меньше определенного числового значения, а не на то, что сами они могут быть численно определены. Для страховщика достаточно того, чтобы страховой взнос, который он устанавливает, покрывал возможный риск. Но помимо этого у меня возникает сомнение, всегда ли размышления страховщика, которые предшествуют установлению страховой премии, совершенно рациональны и обоснованны; или что два одинаково сообразительных брокера, действующих на основе одних и тех же фактов, всегда придут к одному и тому же результату. Например, когда речь идет о включении в бюджет страховых сумм, соответствующие цифры неизбежно будут отчасти произвольными. В них заключен элемент случайности, и умонастроение брокера в тот момент, когда он их определяет, подобно состоянию букмекера, когда тот рассчитывает ставку. И хотя брокер может быть уверен в получении прибыли, исходя из правил букмекерства, все же индивидуальные суммы, составляющие страховой фонд, остаются до некоторой степени произвольными. Он может быть почти уверен, что новые налоги не будут введены на более чем один из товаров: чай, сахар или виски; или же может быть распространено мнение, обоснованное или нет, что вероятность возрастает в следующем порядке – виски, чай, сахар; и, следовательно, страховщик может заключить договор страхования на суммы, находящиеся в соответствующей пропорции, т. е., соответственно, со ставками 30, 40 и 45 %. Таким образом, он может быть уверен в 15-процентной прибыли, какими бы абсурдными и произвольными ни были его ставки. Для успеха страхования на основании этих величин не обязательно, чтобы вероятности новых налогов действительно соответствовали цифрам 3/10, 4/10 и 45/100; достаточно лишь наличия коммерсантов, желающих заключать договор страхования по этим ставкам. Более того, эти коммерсанты, будучи вполне благоразумными, могут согласиться на заключение договора страхования, даже если ставки отчасти произвольны; поскольку всегда остается риск банкротства в том случае, если сумма их возможных потерь не является ограниченной. Принцип подобной сделки очень похож на принципы работы букмекера – об этом свидетельствует тот факт, что если существует особенно высокий спрос на страхование от одного из рисков, то тарифы растут; вероятность не изменилась, но появилась опасность того, что сформированный из взносов страховой фонд может не покрыть необходимых выплат Президентские выборы в США дают более яркий пример. 23 августа 1912 г. у Ллойда был заключен договор на следующих условиях: 60-процентное возмещение в случае победы доктора Вудро Вильсона, 30-процентное – в случае победы г-на Тафта и 20-процентное – в случае победы г-на Рузвельта. Брокер, который мог бы заключить страховые договора при равных ставках на каждого из кандидатов, несомненно, получил бы 10-процентную прибыль. Последующие изменения этих условий во многом зависели бы от количества желающих заключить страховой договор на того или иного кандидата. Можно ли утверждать, что эти цифры представляют собой хоть сколько-нибудь обоснованные числовые оценки вероятности?

В некоторых страховых случаях элемент произвольности кажется даже более значительным. Возьмем, например, ставки перестрахования для «Waratah», судна, которое исчезло в водах Южной Африки.[682] По мере того как шло время, ставки росли; отправление кораблей в поисках судна вызвало их понижение; если находили какие-то материальные свидетельства неизвестного кораблекрушения, ставки вновь росли; когда появилась информация о том, что при подобных же обстоятельствах 30 лет назад судно, беспомощное, но без серьезных повреждений, дрейфовало в течение двух месяцев, ставки упали. Можно ли представить, что эти ставки, менявшиеся изо дня в день, – 75, 83, 78 % – были рационально обоснованы или все же реальные цифры в большой степени произвольны и зависят от настроения людей? В действительности страховщики сами определяют те риски, которые могут быть должным образом застрахованы, либо потому, что их вероятность можно оценить в сравнительно узких числовых границах, либо потому, что можно составить страховой фонд, учитывающий все возможности; и те риски, с которыми нельзя работать подобным образом и которые не могут создать основу для стабильного страхового бизнеса, хотя один раз можно позволить себе «сыграть в рулетку». Таким образом, я полагаю, что практика страховщиков скорее свидетельствует против, нежели в пользу утверждения о том, что все вероятности могут быть просчитаны и численно оценены.

5. Представители деятельности другого рода – адвокаты – оказываются в подобных вопросах проницательнее философов.[683] Интересующее нас в данном случае различие между теми вероятностями, которые могут быть установлены в узких пределах, и теми, которые не могут, возникло в результате принятия ряда судебных решений, касающихся возмещения убытков. В следующем отрывке из «Times Law Reports»,[684] как мне кажется, вопрос логики обсуждается на смеси разговорного и профессионального юридического языков:

Было рассмотрено судебное дело о возмещении убытков, которые понес заводчик скаковых лошадей в результате нарушения условий контракта. Согласно этим условиям Силена, скакового жеребца, принадлежавшего ответчику, должны были в сезон 1909 г. случить с одной из кобыл истца. Летом 1908 г. ответчик без согласия истца продал Силена за 30 тыс. фунтов в Южную Америку. Истец потребовал сумму, равную средней прибыли, которую он получил за четыре прошедших года, когда кобылу случали с Силеном. В течение тех четырех лет на свет появилось четыре жеребенка, которых он продал за 3,3 тыс. фунтов. Таким образом, его убыток составил 700 гиней.

Судья Джелф заявил, что он желал бы, если это было возможно, найти законный способ заставить ответчика возместить убытки истца; но рассмотрение вопроса об убытках сталкивается с серьезными и, по его мнению, непреодолимыми трудностями. Убытки, если таковые вообще были, в случае их возмещения должны быть оценены либо как упущенная выгода, либо вообще как условные. Оценка могла производиться только с учетом последовательности непредвиденных обстоятельств. Таким образом, необходимо было допустить, что (inter alia[685] ) Силен был бы жив и здоров ко времени запланированной случки; что предназначенная ему кобыла была бы хорошей породы и способна дать потомство; что у нее не случилось бы выкидыша, и жеребенок родился бы живым и здоровым. В такого рода случае истец мог надеяться только на оценку шансов; и закон, как правило, рассматривал убытки, основанные на оценке шансов, как слишком незначительные, и, следовательно, не подлежащие возмещению. Закон проводил границу между оценкой ущерба, основанного на вероятностях (как в деле «Симпсон против Железнодорожной Компании Н.В.», при рассмотрении которого судья Кокберн заявил: «В некоторой степени убыток, несомненно, является умозрительным, но это не может служить основанием, чтобы не возмещать его вообще»), и требованием возместить убытки крайне проблематичного характера. Судья Джелф полагал, что данный случай являлся беспрецедентным. Ссылаясь на «Mayne on Damages», он обратил внимание на то, что в деле «Уотсон против Железнодорожной компании Амберга» судья Паттерсон, кажется, полагал, что шанс выиграть приз может учитываться при оценке убытков из-за нарушения контракта, когда машину для погрузки барж отправили на выставку поездом со слишком большим опозданием; но судья Эрл посчитал этот убыток слишком отдаленной перспективой. По мнению Его Светлости, в момент заключения контракта шанс на выигрыш приза не был еще достаточно четко оценен обеими сторонами. Более того, в данном случае непредвиденные обстоятельства были слишком многочисленными и неопределенными. Судья вынес решение о номинальных убытках истца – и это было все, на что он имел право. Они были оценены в 1 шиллинг.

Для дальнейшего разъяснения того же вопроса можно сослаться еще на одно похожее дело, к тому же оно иллюстрирует и другой аспект – важность выяснения тех предположений, относительно которых вычисляется вероятность. Это дело[686] возникло в связи с конкурсом красоты, объявленным «Daily Express».[687] Из 6 тыс. представленных на конкурс фотографий несколько было отобрано и напечатано в газете согласно следующему принципу.

Территория Великобритании была условно поделена на округа, и фотографии участниц, живших в том или ином округе, должны были быть представлены читателям газеты этого округа – им и предлагалось голосованием избрать тех, кого они считали самыми красивыми. В итоге мистер Сеймур Хикс должен был назначить встречу 50 участницам, набравшим наибольшее число голосов, и затем лично отобрать 12 из них. Девушка, которая победила в одном из округов, подала в суд иск, согласно которому ее лишили справедливой возможности прийти на встречу (с Хиксом), вместе с тем упали и ее шансы выиграть один из 12 призов, и она потребовала соответствующего возмещения ущерба. Суд заключил, что ответчик не принял должных мер, чтобы предоставить истице возможность участия в отборе, и определил величину нанесенного ущерба (при условии, что этот ущерб вообще возможно оценить) в 100 фунтов, при этом рассмотрение вопроса о возможности оценки было отложено. Это решение было оспорено перед судьей Пикфордом и позже в Апелляционном суде перед лордами-судьями Воаном Уильямсом, Флетчером Маултоном и Фарвелом. Возникли два вопроса: относительно чего должна быть рассчитана вероятность, и может ли она быть численно измерима? Адвокат ответчика заявил: «Если и оценивать числовое значение вероятности успеха истицы, то лишь то, которым она обладала в начале конкурса, а не то, которое она приобрела, выйдя в число 50 финалисток. Так как в конкурсе участвовало 6 тыс. фотографий, а на решение, принятое главным арбитром-ответчиком, влияли его личные предпочтения, то вероятность успеха истицы в действительности подсчитать просто невозможно». Первый тезис адвоката о том, что необходимо оценивать шансы истицы на успех исходя из ее статуса одной из 6 тыс. участниц, а не одной из 50 финалисток, очевидно, совершенно нелепо и не могло ввести суд в заблуждение. Но второй – о личных предпочтениях арбитра – вызвал больше сомнений. Следует ли суду, оценивая шансы истицы на победу, принять во внимание факт субъективных предпочтений арбитра относительно различных типов женской красоты? Судья Пикфорд, не прояснив сути вопроса, предположил, что величина ущерба может быть подсчитана. Принимая решение по данному делу, лорд-судья Воан Уильямс высказался следующим образом:

Насколько он понял, около 50 человек соревновались за право получить один из 12 равноценных призов. Таким образом, шансы на успех каждого участника в среднем составляли 1 к 4. Тогда ему на это ответили, что вопросов, которые могли возникнуть у тех, кто должен был принимать решение по этому делу, было так много, что невозможно применять принцип средних значений. Однако он с этим не согласился. Затем было сказано, что поскольку никакой ясности и определенности в этом деле нет, правильнее было бы охарактеризовать ущерб как неисчислимый. Он согласился с тем, что в некоторых случаях величину ущерба бывает настолько сложно установить, что принцип средних значений оказывается вовсе неприменимым, поскольку числовых данных, которые при этом следует использовать, еще не существует. В судебных отчетах можно найти несколько дел, в которых ситуация была именно такой, однако судья не посчитал, что из-за отсутствия точности и определенности данных суд не обязан или не уполномочен определять величину ущерба. Он (лорд-судья) заявил, что простой факт невозможности точной оценки компенсации не освобождает виновного от ответственности за нарушение им своих обязательств. Он не стал бы утверждать, что при рассмотрении любого дела следует поручать суду оценку величины ущерба: существуют дела, в которых величина ущерба настолько зависит от неограниченной воли другого человека, что дать сколько-нибудь обоснованную оценку ущерба от нарушения обязательств попросту невозможно. Безусловно, в этом случае не было ничего похожего на рынок – право на участие в состязании принадлежало определенному лицу и не могло быть никому передано. Судья не мог допустить, что участница, обнаружив себя в числе 50 финалисток, явилась бы на рынок и продала свое право на участие в отборе. Однако в то же время суду следовало бы задаться вопросом, могло ли право на участие в соревновании, если таковое имелось, быть передано, и за какую цену. В связи с этими обстоятельствами он полагал, это дело подлежало рассмотрению в суде.

Точка зрения судьи ясна. Истица, очевидно, понесла убытки, и правосудие требует, чтобы они были компенсированы. Однако было так же ясно и то, что, учитывая наиболее полную доступную информацию и факт личной пристрастности арбитра, вероятность никаким образом невозможно численно оценить. Далее, невозможно было сказать, насколько значимым являлось то обстоятельство, что подавшая иск девушка была первой в своем округе (всего округов меньше 50); однако было ясно, что благодаря этому ее шансы были выше, чем шансы других 50 участниц, которые не были первыми в своих округах. Так пусть же тогда правосудие будет осуществлено, хотя бы и в приблизительной форме. Давайте упростим дело, оставив в стороне некоторые свидетельства. Для этого вполне применим принцип средних значений, или, другими словами, ущерб истицы может быть оценен как 12/50 от размера приза.[688]

6. Что же из этого следует? Вне зависимости от того, может или нет такого рода ситуация быть рассмотрена на теоретическом уровне, невозможно никакое практическое суждение, с помощью которого было бы реально придать числовое значение вероятности каждого довода. До сих пор при имеющихся у нас возможностях измерения вероятности не было даже ясно, всегда ли мы сможем расположить их в порядке возрастания. Для осуществления этой процедуры не было предложено никаких теоретических критериев.

Сомнения в том, что, исходя из изложенного выше, две вероятности в любом случае даже теоретически могут быть сравнимы численно, никогда не были предметом серьезного рассмотрения. Однако, на мой взгляд, есть весьма важные причины, заставляющие принимать эти сомнения во внимание. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

7. Рассмотрим индукцию, или обобщение. Обычно считается, что любой дополнительный пример повышает вероятность правильного обобщения. Заключение, основанное на трех случаях, в которых варьируются несущественные условия, заслуживает большего доверия, чем в случае, если бы оно было основано на двух. Но на каком основании или по какому принципу можно приписать этому возрастанию точное числовое значение?[689]

Аналогичным образом при рассмотрении примеров другого рода у нас иногда имеются некоторые основания предполагать, что некий объект принадлежит к определенной категории, если у него есть схожие черты с другими известными объектами, принадлежащими к этой категории (к примеру, если мы рассматриваем вопрос о том, принадлежит ли данная картина перу некоего художника), и чем больше сходство, тем больше вероятность истинности нашего заключения. Но мы не можем в таких случаях измерить увеличение этой вероятности; мы можем сказать, что наличие определенных отличительных характеристик повышает вероятность того, что художник, манере которого присущи такие черты, написал эту картину, но мы не можем сказать, что присутствие этих черт делает вероятность того, что наша атрибуция верна, в 2,3 или более раз большей, чем если бы их не было. Мы можем сказать, что какая-то одна вещь больше похожа на другую, чем на третью; но редко имеет смысл говорить, что она в 2 раза больше похожа. В том, что касается измерения, вероятность аналогична сходству.[690]

Теперь рассмотрим обычные жизненные обстоятельства. Предположим, что мы на прогулке: какова вероятность того, что мы вернемся домой живыми? Всегда ли эту вероятность можно численно измерить? Если разразится гроза, эта вероятность уменьшится; но изменилась ли она на определенную численную величину? Конечно, можно найти данные, которые позволили бы сравнить эти вероятности численно. Можно предположить, что знание статистики смертельных случаев от удара молнии делает это сравнение возможным. Но если подобная информация не является частью знания, к которому относится интересующая нас вероятность, этот факт вообще не имеет отношения к рассматриваемой вероятности и не может повлиять на ее числовое значение. Более того, в некоторых случаях, когда доступны общие статистические данные, числовая вероятность, которая может быть получена на их основе, неприменима из-за наличия дополнительной информации, касающейся конкретного случая. Гиббон рассчитал продолжительность своей жизни, используя огромное количество данных демографической статистики и расчеты актуариев. Но если бы на помощь ему призвали доктора, то вся точность этих расчетов оказалась бы бесполезной; перспективы продолжительности жизни Гиббона могли стать лучше или хуже, чем раньше, однако, у него не появилось бы больше возможности за день или неделю рассчитать период, в течение которого у него будет шанс выжить.

Рассматривая эти случаи, возможно, мы сможем расположить вероятности в порядке возрастания и заявить, что новые данные усиливают или ослабляют наше утверждение, хотя нет никакого основания для того, чтобы оценить, насколько новое утверждение более или менее обосновано. Но возможно ли в примерах другого рода хотя бы расположить вероятности в порядке возрастания или сказать, что одни из них больше, а другие меньше?

8. Рассмотрим три серии экспериментов, каждая из которых направлена на то, чтобы можно было сделать обобщение. Первая серия содержит наибольшее количество элементов; во второй непринципиальные условия немного варьируются; в третьем случае, по-видимому, можно сделать более масштабное обобщение, чем в двух предыдущих. Какое же из этих обобщений, исходя из приведенных данных, можно назвать более вероятным? Разумеется, на этот вопрос нет ответа; между данными трех экспериментов нет ни равенства, ни неравенства. Мы никогда не можем сравнивать аналогию с индуктивным заключением, или масштаб обобщения с объемом свидетельств, его подтверждающих. Если у нас появляется больше оснований, чем раньше, сравнение будет возможно; но если в двух случаях основания достаточно сильно различаются, даже сравнение по критерию «больше/меньше», не говоря уже о числовом измерении, окажутся невозможными.

Все это заставляет нас обратиться к обсуждению точки зрения, которую, как я знаю, многие поддерживают: согласно ей, хотя мы и не можем осуществить всех измерений и сравнений вероятностей, тем не менее, применительно к каждому суждению мы можем сказать, является ли оно более или менее правдоподобным (likely). Является ли наше ожидание дождя, когда мы выходим на улицу, более правдоподобным, менее правдоподобным или равно правдоподобным и неправдоподобным? Я готов утверждать, что в ряде случаев ни одна из этих характеристик непригодна, и что решение о том, брать ли с собой зонт, будет произвольным. Если стрелка барометра стоит высоко, но небо покрыто темными тучами, не всегда будет рационально считать, что один признак преобладает над другим или что они равнозначимы, рационально положиться на произвольное решение и не терять время на обсуждение.

9. В некоторых случаях, следовательно, нельзя найти никакой рациональной основы для численного сравнения. Речь не идет о том, что метод вычисления, предписываемый теорией, для нас недоступен или слишком трудоемок. Никакого метода вычисления, даже очень трудного для применения, и предложено не было. Нет у нас и никаких prima facie (внешних) указаний на существование общей единицы измерения, которая естественным образом могла быть отнесена к вероятности. Степень вероятности не является чем-то внутренне однородным, она не может быть разделена на схожие по своей природе составляющие. Утверждение, согласно которому величина той или иной вероятности находится в численном отношении к любой другой, представляется, следовательно, лишенным того рода оснований, которые обычно присутствуют, когда имеют дело с величинами, измеримость которых невозможно отрицать. Конечно, дело обстоит иначе, если используется одно из современных определений вероятности, о которых речь пойдет позже.

10. Представляется, что существует четыре альтернативы. Или в некоторых случаях вероятность вообще не существует; или не все вероятности принадлежат к одной серии величин, измеримых в одних и тех же единицах; или эти величины всегда существуют, но во многих случаях являются и непременно будут оставаться неизвестными; или же вероятности принадлежат к подобной серии, а их величины в принципе могут быть определены нами, хотя мы не всегда способны сделать это практически.

11. Лаплас и его последователи исключали две первые альтернативы. Они заявили, что каждому умозаключению соответствует точка на численной шкале вероятностей от 0 до 1, но только если мы знаем ее. Так они разработали свою теорию неизвестных вероятностей.

Рассматривая эту позицию, мы должны четко представлять себе, что мы подразумеваем, говоря, что вероятность неизвестна. Понимаем ли мы неизвестное как недостаток (нашего) умения делать заключения на основе некоторых фактов, или неизвестное – следствие недостатка самих фактов? Допустимо здесь только первое, поскольку новые факты дали бы нам и новую вероятность, а не более полное знание старой; мы не получим вероятность суждения, основанного на данном факте, определив его вероятность по отношению к совершенно другому факту. Мы не должны позволять теории неизвестных вероятностей завоевать доверие благодаря тому, что предполагается второе значение понятия «неизвестный».

Отношение вероятности, как правило, не несет ценной информации, если только оно не предполагает, что вероятность тех или иных заключений может быть локализована в узком числовом интервале. Следовательно, в повседневной жизни, если мы не можем оценить вероятность того или иного заключения численно, мы не считаем, что знаем эту вероятность. Иными словами, мы склонны ограничить использование слова «вероятно» этими числовыми случаями, а в других случаях утверждать, что вероятность неизвестна. Мы можем сказать, например, что, когда мы отправляемся в путешествие на поезде, нам неизвестна вероятность смерти в железнодорожной катастрофе, если только нам не сообщили статистики несчастных случаев в предыдущие годы; или что мы не знаем своих шансов на выигрыш в лотерее, если только нам не сообщили количества лотерейных билетов. Но по размышлении должно быть понятно, что если мы используем термин «вероятность» в этом смысле, – который, без сомнения, является совершенно законным, – то мы должны говорить, что в некоторых случаях отношение вероятности не существует, а не то, что оно неизвестно. Ведь это не та вероятность, которую мы обнаружили, когда появление новых фактов позволило сделать числовую оценку.

Возможно, эта теория неизвестных вероятностей может также получить поддержку со стороны нашей практики оценивающих суждений, которые, как я полагаю, не содержат никакой числовой оценки, путем отсылки на те суждения, которые ее имеют. Мы составляем два идеальных рассуждения, т. е. таких, в которых общий характер фактов во многом напоминает то, что мы действительно знаем, но устройство которых таково, что они несут в себе числовую оценку, и мы делаем вывод, что вероятность реального суждения находится между этими двумя вероятностями. Следовательно, поскольку наши критерии предполагают числовое измерение даже в тех случаях, когда реальное измерение невозможно, и поскольку вероятность лежит между двумя численными значениями, мы приходим к убеждению, что и она сама, если только она нам известна, должна обладать такого рода мерой.

12. Таким образом, сказать, что вероятность неизвестна, означает, что она неизвестна из-за недостатка умения рассуждать на основе известных нам фактов. Факт подтверждает некоторую степень нашего знания, но ограниченность способностей нашего разума не дает нам узнать, какова эта степень. В лучшем случае иногда мы лишь смутно представляем себе, с какой степенью вероятности первоначальные посылки определяют вывод. Очевидно, что здесь вероятности могут быть неизвестны или известны с меньшей определенностью, чем это позволяет установить рассуждение. Глупость может не позволить нам дать какую-либо оценку вероятности, равным образом мы можем по той же причине оценить эту вероятность неправильно. Как только мы начинаем различать степень веры, которую рационально испытывать, и степень веры, которую мы уже испытываем, мы должны, в сущности, признать, что истинная вероятность известна далеко не всем.

Но нельзя допускать, чтобы это признание завело нас слишком далеко. Вероятность (см. гл. 2, пункт 11) имеет отношение к законам человеческого разума. Степень вероятности, которую нам рационально принять, не предполагает строго логичного рассмотрения и отчасти относится к вторичным суждениям, которые нам в действительности известны; не зависит она и от возможности или невозможности более строгого логического рассуждения. Это такая степень вероятности, к которой ведут логические процедуры, доступные нашему разуму, или, используя терминологию второй главы, такая, которую подтверждают вторичные суждения, нам в действительности известные. Если мы не принимаем такое представление о вероятности, если мы не ограничиваем ее таким образом и не соотносим ее с человеческими способностями, мы погружаемся в область неизвестного; ибо мы не можем даже знать, какая степень вероятности подтверждалась бы воспринимаемыми нами логическими отношениями, которые мы не способны и, должно быть, никогда не будем способны постичь.

13. Я уверен, что те, кто полагают, что, если мы не можем установить числовую вероятность, но не потому, что таковой не существует, но просто потому, что мы ее не знаем, на самом деле предполагают, что благодаря некоторому увеличению нашего знания эту вероятность будет можно установить, т. е. что наши выводы будут иметь числовую вероятность по отношению к несколько иным предпосылкам. Следовательно, если только читатель не слишком настаивает на том, что в любом из примеров, которые я разбирал в предыдущих положениях этой главы, теоретически возможно на основании имевшихся фактов установить числовое значение вероятности, нам остаются лишь две первые альтернативы, описанные в пункте 10: либо в некоторых случаях вероятности вовсе не существует; либо не все вероятности принадлежат к одному множеству величин, измеримых в одних и тех же единицах. Было бы затруднительно настаивать на том, что не существует каких-либо логических отношений, связывающих предпосылки и выводы в тех случаях, когда мы не можем установить числовое значение вероятности; и если это так, то проблема в действительности состоит в том, имеют ли эти логические отношения какие-либо характеристики, кроме измеримости, которые могли бы убедить нас в том, что к ним применимо понятие вероятности. Следовательно, предпочтение, которое мы отдаем одной из этих двух альтернатив – отчасти лишь вопрос определения. Иными словами, мы можем выделить среди вероятностей (в широком смысле этого слова) множество, если таковое существует, все элементы которого будут измеримы в одних и тех же единицах, и назвать их и только их вероятностями (в узком смысле этого слова). Ограничивать употребление слова «вероятность» таким образом привело бы, думаю, к большому неудобству. Как будет показано далее, поскольку можно найти несколько множеств, элементы каждого из которых будут измеримы в единицах, применимых к остальным элементам того же множества, наш выбор множества будет до некоторой степени произвольным.[691] Более того, различие между вероятностями, которые окажутся измеренными таким образом, и теми, которые измерению поддаваться не будут, не является принципиальным.

В любом случае я стремлюсь рассматривать вероятность в самом широком значении этого термина и не хотел бы ограничивать сферу его применения лишь некоторыми типами рассуждений. Если мнение о том, что не все вероятности могут быть измеримы, выглядит парадоксальным, то, возможно, это связано с тем, что этот термин употребляется не в том значении, которое ожидает читатель. Обыденное употребление термина, даже если и допускает намек на числовое измерение, всецело не исключает вероятности, которые такому измерению не поддаются. Предпринятые до сих пор неудачные попытки рассмотрения численно неопределенных вероятностей как неизвестных вероятностей показывают, как сложно удержать обсуждение в изначально намеченных рамках, если понятие изначально определено слишком узко.

14. В дальнейшем я буду настаивать на том, что существуют некие пары вероятностей, между членами которых невозможно никакое сравнение по величине; но что мы можем, говорить о некоторых парах отношений вероятностей, из которых одна будет больше, а другая меньше, хотя и невозможно измерить разницу между ними, и что в особых случаях, о которых я буду говорить позже, сравнению по величине не может быть придано числовое значение. Я думаю, что результаты наблюдений, примеры которых были приведены выше в этой главе, согласуются с этой точкой зрения.

Говоря о том, что не все вероятности измеримы, я имею в виду, что невозможно в отношении любой пары выводов, о которых мы располагаем неким знанием, сказать, что степень нашей рациональной веры в одном находится в численном отношении к степени веры в другом; и говоря, что не все вероятности могут быть сравнимы по критерию «больше/меньше», я имею в виду, что не всегда можно сказать, что степень нашей рациональной веры в один исход равна, больше или меньше, степени нашей веры в другой исход.

Мы должны теперь рассмотреть философскую теорию количественных характеристик вероятности, которая объясняла и подтверждала бы выводы, к которым приводят рассуждения (если сказанное выше верно) из повседневной практики. Следует иметь в виду, что наша теория должна быть применима ко всем типам вероятностей, а не только к ограниченной группе, и что, если мы не принимаем определение вероятности, которое предполагает ее числовую измеримость, мы не можем в своих рассуждениях идти от различий в степени вероятности к числовым измерениям этих различий. Это тонкая и сложная проблема, я с большой осторожностью предлагаю ниже ее решение, однако я убежден в том, что нечто, напоминающее представленные здесь выводы, верно.

15. Так называемые уровни или степени знания, или вероятности, благодаря которым можно говорить, что одно больше, а другое меньше, в действительности возникают из порядка, в котором возможно их расположить. Например, достоверность, невозможность и вероятность, которая занимает промежуточное положение, составляют упорядоченную последовательность, в которой вероятность находится между достоверностью и невозможностью. Аналогично, может существовать вторая вероятность, которая будет располагаться между достоверностью и первой вероятностью. Поэтому когда мы говорим, что одна вероятность больше, чем другая, это определенно означает, что степень нашей рациональной веры в первом случае находится между достоверностью и степенью нашей рациональной веры во втором случае.

Основываясь на этой теории, нетрудно увидеть, почему сравнения по критерию «больше/меньше» не всегда возможны. Они существуют между двумя вероятностями, только когда они и достоверность находятся внутри одной и той же упорядоченной последовательности. Однако если существует более чем одна последовательность вероятностей, очевидно, что только те, которые принадлежат к одной и той же последовательности, подлежат сравнению. Если признак «больший», сопровождающий один из двух элементов [последовательности], возникает исключительно из относительного порядка элементов в последовательности, тогда сравнения по критерию «больше/меньше» должны всегда быть возможны между элементами, которые являются членами одной и той же последовательности, и никогда не будут возможны в противном случае. Некоторые вероятности несопоставимы по критерию «больше/меньше», потому что они лежат на различных, если так можно сказать, линиях между доказательством и опровержением, между достоверностью и невозможностью; и ни одна из двух вероятностей, которые находятся на разных линиях, не придает другой отношения «между», которое необходимо для количественного сравнения.

Если мы сравниваем вероятности двух суждений, при этом выводы обоих совпадают, а свидетельств в пользу одного больше, чем в пользу другого, потому что в суждения включены некоторые релевантные подтверждающие факты, то в этом случае кажется ясным, что между этими двумя суждениями существует некоторое отношение, которое указывает, что одно из них ближе к достоверности, чем другое. Можно привести в качестве примера несколько типов суждений, в которых существование такого отношения так же явственно, [как и в описанном случае]. Но мы не можем допустить его существования в каждом случае или при определении большей или меньшей вероятности для любой пары суждений.

16. Аналогичные примеры отнюдь не редки – в них в силу обычной небрежности фразы о количестве употребляются так же произвольно, как и в случае с вероятностью. Простейший пример – цвет. Когда мы описываем цвет одного объекта как более синий, чем цвет другого, или говорим, что в нем больше зеленого, мы не имеем в виду, что существуют количественные характеристики синего и зеленого, которыми цвет объекта наделен в большей или меньшей степени; мы имеем в виду, что цвет [объекта] занимает определенную позицию в порядке цветов и что он находится ближе к некоему стандартизированному цвету, чем цвет, с которым мы его сравниваем.

Другой пример – количественные числительные. Мы говорим, что число «3» больше, чем число «2», но мы не имеем в виду, что эти числа являются количествами, одно из которых по величине больше, чем другое. Одно число больше, чем другое потому, что оно занимает определенное место в общем порядке чисел; оно более удалено от исходной точки нуля. Одно число больше, чем другое, если второе находится между нулем и первым.

Но самую близкую аналогию дает случай подобия. Когда мы говорим о трех объектах: А, В и С, что В больше похоже на А, чем С, мы имеем в виду не то, что существует некое отношение, в котором В само по себе количественно больше, чем С, но то, что если три объекта размещены в порядке возрастания подобия, тогда В находится ближе к А, чем С. Здесь, как и в случае с вероятностью, существуют разные порядки подобия. Например, книга в голубом сафьяновом переплете больше похожа на книгу в красном сафьяновом переплете, чем если бы она [первая книга] была в голубом кожаном переплете; а книга в красном кожаном переплете больше похожа на книгу в красном сафьяновом переплете, чем если бы она была в голубом кожаном переплете. Но может и не быть сравнения между степенью подобия, которая существует между книгами в красном и голубом сафьяне, и той, которая существует между книгами в красном сафьяне и красной коже.

Эта иллюстрация заслуживает особого внимания, так как аналогия между порядками подобия и вероятности настолько велика, что ее понимание может существенно помочь понять идеи, которые я хочу здесь представить. Мы говорим, что одно суждение более вероятно, чем другое (т. е. что оно находится ближе к достоверности) подобно тому, как мы можем описать один объект как более похожий на стандартный объект сравнения, чем другой.

17. До сих пор ничего еще не было сказано о том, поддаются ли вероятности хоть какому-то численному сравнению. Верно, что в некоторых типах упорядоченных последовательностей наряду с порядком существуют измеримые дистанции между их членами, и что отношение одного из членов к началу координат может быть численно сравнено с отношением другого члена к той же точке. Но законность таких сравнений в каждом случае должна стать предметом особого рассмотрения.

Пока мы не дойдем до второй части этой книги, невозможно будет объяснить, как и в каком смысле в ряде случаев вероятности может быть придано числовое значение. Но эта глава будет более завершенной, если я кратко сформулирую выводы, к которым мы придем позже. Я покажу, что процесс исчисления вероятностей может быть определен с помощью таких характеристик, что его можно будет назвать сложением. Как следствие может иметь место ситуация, когда мы сможем сказать, что вероятность C равна сумме двух вероятностей A и B, т. е. C = A + B. Если в этом случае A и B равны, мы можем записать это выражение в виде C = 2A и сказать, что C – это удвоенное A. Аналогично, если D = C + A, мы можем выразить D как равное 3A, и т. д. Поэтому мы можем приписать смысл равенству P = n A, где P и A – отношения вероятности, а n – некоторое число. В таких условных измерителях достоверности соответствует единица. Следовательно, если P выражает достоверность, пользуясь обыденным языком, мы можем сказать, что величина вероятности A равна 1/n. Далее будет также показано, что мы можем дать определение применимой к вероятностям процедуры, имеющей свойства арифметического умножения. Там, где числовое измерение возможно, мы можем производить алгебраические действия значительной сложности. Большое внимание, которое было уделено одному ограниченному классу исчисляемых вероятностей (не связано с реальной значимостью вероятностей этого типа, но вызвано теми математическими преобразованиями, которые можно над ними производить), отчасти объясняет распространенную веру в то, что все вероятности должны принадлежать к этому классу – доказательство ошибочности этой веры и составляет основной предмет этой главы.

18. Мы должны рассматривать количественные характеристики вероятности следующим образом. Мы можем представить некоторые множества вероятностей в виде упорядоченных последовательностей, о любой паре из которых можно сказать, что один ее элемент находится ближе к достоверности, чем другой и что суждение в одном случае является более доказательным, чем в другом и что один вывод более основателен, чем другой. Но мы можем лишь выстраивать эти упорядоченные последовательности в особых случаях. Если нам даны два различных суждения, нет никакого общего основания для того, чтобы их вероятности и достоверность могли бы быть упорядочены. В каждом конкретном случае нам приходится самим устанавливать существование такого порядка. Далее будет предпринята попытка объяснить, как и при каких обстоятельствах такие порядки могут быть установлены, и основная идея изложенной здесь теории – получение дополнительного обоснования. Сейчас же было показано, что утверждение о том, что в одних случаях порядок [последовательности] существует, а в других – нет, согласуется со здравым смыслом.

19. Вот каковы некоторые принципиальные свойства упорядоченных последовательностей вероятностей:

1. Каждая вероятность находится на отрезке между невозможностью и достоверностью; о ее степени, которая не идентична ни невозможности, ни достоверности, всегда будет правильно сказать, что она находится между ними. Таким образом, достоверность, невозможность и любая другая степень вероятности образуют упорядоченную последовательность. Это то же, что сказать, будто каждое суждение является доказательством, опровержением или занимает промежуточную позицию.

2. Отрезок, составленный из степеней вероятности, не всегда является сплошным. Иными словами, необязательно верно, что каждая пара вероятностей в одной и той же последовательности содержит вероятность, находящуюся между двумя этими элементами.

3. Одна и та же степень вероятности может находиться более чем на одном отрезке (т. е. может принадлежать более чем к одной последовательности). Отсюда, если B находится между Aи C, а также между A? и C?, из этого не следует, что A и A? тоже находятся между другим элементом и достоверностью. То, что одна и та же вероятность может принадлежать более чем к одной последовательности, наблюдается и когда речь идет о подобии.

4. Если ABC составляет упорядоченную последовательность, где B находится между A и C, а BCD составляет упорядоченную последовательность, где C находится между B и D, тогда ABCDсоставляет упорядоченную последовательность, где B находится между A и D.

20. Различные последовательности вероятностей и их взаимные отношения могут быть наиболее простым образом изображены посредством диаграммы. Представим упорядоченную последовательность точками, лежащими на отрезке, все точки которого принадлежат одной последовательности. Из свойства 1 следует, что точки O и I, представляющие отношения невозможности и достоверности, находятся на каждом из отрезков, и что все отрезки полностью помещаются между этими точками. Из свойства 3 следует, что одна и та же точка может лежать более чем на одном отрезке. Следовательно, отрезки могут накладываться друг на друга и пересекаться. Из свойства 4 следует, что вероятность, представленная данной точкой, больше, чем другая, представленная любой точкой, к которой можно прийти, двигаясь от первой точки к точке невозможности, и меньше, чем та вероятность, которая представлена точкой, лежащей между первой точкой и точкой достоверности. Поскольку в этой диаграме существуют отдельные независимые траектории движения, там будут и некоторые пары точек, представляющие отношения вероятности таким образом, что мы не можем достичь одну, двигаясь от другой по некоей траектории всегда в одном и том же направлении.

Эти свойства иллюстрируются прилагаемой диаграммой. O представляет невозможность, I – достоверность, A – численно измеримую вероятность, промежуточную между O и I; U, V, W, X, Y, Z – нечисловые вероятности, среди которых, однако, V меньше, чем численная вероятность A, а также меньше, чем W, X и Y. X и Y обе больше, чем Wи больше, чем V, но они не сравнимы друг с другом или с A. V и Z обе меньше, чем W, X и Y, но не сравнимы друг с другом; U количественно не сравнима с любой из вероятностей V, W, X, Y, Z. Вероятности, которые являются численно сравнимыми, все будут принадлежать одной последовательности, и отрезок этой последовательности, который мы можем назвать числовым отрезком или ветвью, будет представлен в виде OAI.

21. Основные результаты, к которым мы пришли к настоящему моменту, сводятся к следующему:

1. Среди степеней вероятности или рациональной веры существуют разные множества, каждое из которых образует упорядоченную последовательность. Эти последовательности упорядочены благодаря отношениям «между». Если В находится между А п С, ABC образует последовательность.

2. Существует две степени вероятности Oui, между которыми располагаются все прочие вероятности. То есть, если А является вероятностью, OAI составляет последовательность. О представляет невозможность, а/ – достоверность.

5. Если вывод a заключает в себе отношение вероятности P к предпосылке h, или если, другими словами, предпосылка h влияет на взвод a с вероятностью P, это можно записать как aPh, а можно как a/h = P.

Это последнее выражение, которое по многим причинам представляется более подходящим, чем первое, имеет фундаментальное значение. Если aPh и a?Ph?, т. е. если вероятность а относительно h та же, что и вероятность a? по отношению к h?, это можно записать как a/h = a?/h?. Ценность обозначения a/h, которое представляет то, что другие авторы называют «вероятностью а», заключается в том, что оно содержит прямую отсылку к данным, относительно которых устанавливается вероятность заключения, и позволяет избежать многих ошибок, которые возникали, когда эта отсылка отсутствовала.

Перевод с англ. гл. 1, 2 И.А. Болдырева (первичный вариант создан участниками семинара по истории экономической мысли на философском факультете МГУ им. М.В. Ломоносова 2005 г. А. Игнатьевой, И. Изотовой, Д. Манченковым, И. Машковой и К. Подгрудковой), гл. 3 М.Л. Майофис, научное консультирование Л.Б. Макеевой.

© Перевод на русский язык. Издательский дом ВШЭ, 2011.

Полемика с Кейнсом.

Франк П. Рамсей. Истина и вероятность (1926)[692].

...говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть, – значит говорить ложное; а говорить, что сущее есть и не-сущее не есть, – значит говорить истинное. Аристотель Имея перед собой несколько гипотез, которые мы считаем взаимно исключающими друг друга и исчерпывающими, но относительно которых нам больше ничего не известно, мы распределяем нашу веру поровну между ними... Признав, что таким образом мы распределяем нашу веру в простых случаях, и будучи последовательными, станем использовать примененный в этом случае способ в более сложных случаях, и тогда мы придем к соответствующей теории в целом. У.Ф. Донкитс Цель наших рассуждений состоит в том, чтобы установить с учетом уже известного нам чего-то такого, что мы еще не знаем. Следовательно, рассуждение есть благо, если оно таково, что дает истинное заключение из истинных посылок, а не наоборот. Ч.С. Пирс Истину нельзя рассказать так, чтобы ее поняли, но не поверили бы в нее. У. Блейк

Предисловие.

В этом очерке теория вероятностей рассматривается как раздел логики – логики неполной веры и недемонстративного рассуждения; но здесь не подразумевается, что это единственный или даже наиболее важный аспект данного предмета изучения. Вероятность имеет основополагающее значение не только для логики, но также для статистики и физической науки, и мы не можем быть заранее уверены, что ее наиболее полезная интерпретация в логике будет также пригодна и в физике. В сущности, привычное разногласие между статистиками, по большей части принимающим частотную теорию вероятности, и логиками, в большинстве своем отвергающими ее, внушает мысль, что эти две школы в действительности говорят о разных вещах и что логики используют слово «вероятность» в одном смысле, а статистики – в другом. Поэтому выводы, к которым мы придем в отношении значения вероятности в логике, вовсе не предрешают вопроса о ее значении в физике.

Содержание.

1. Частотная теория.

2. Теория м-ра Кейнса.

3. Степени веры.

4. Логика совместимости.

5. Логика истины.

1. Частотная теория.

В надежде избежать некоторых чисто словесных разногласий я намерен начать с признаний в пользу частотной теории. Во-первых, следует признать, что эта теория имеет прочные корни в обыденном языке, в котором «вероятность» часто употребляется практически как синоним доли; например, когда мы говорим, что вероятность выздоровления от оспы равна трем четвертям, думаю, мы просто имеем виду, что такова доля случаев выздоровления от оспы. Во-вторых, если мы начинаем с того, что называют исчислением вероятностей, рассматривая его как раздел чистой математики, а уже затем обращаемся к поиску некоторой интерпретации формул с тем, чтобы показать, что наши аксиомы не противоречат друг другу, а наш предмет не полностью бесполезен, то наиболее простой и наименее спорной является интерпретация исчисления вероятности в терминах частоты. Это верно не только в отношении обычной математической теории вероятности, но и в отношении символического исчисления, разработанного м-ром Кейнсом; ибо если a и h в его a/h берутся не как суждения, а как пропозициональные функции или классификационные понятия, определяющие конечные классы, а a/h истолковывается как доля элементов h, которые одновременно являются элементами a, то все его высказывания превращаются в арифметические трюизмы.

Помимо этих двух допущений имеется еще третье, более важное, которое я готов на время принять, хотя оно и не выражает моей действительной позиции. Состоит оно в следующем. Допустим, мы начинаем с математического исчисления и задаемся не прежним вопросом, какая его интерпретация наиболее удобна для чистой математической теории, а вопросом, какая интерпретация дает результаты наиболее ценные для науки в целом; тогда, возможно, ответом опять будет интерпретация в терминах частоты, согласно которой вероятность, как она используется в статистических теориях, в частности в статистической механике, где энтропия есть логарифм вероятности, действительно является выраженным в числах отношением двух классов или пределом такого отношения. Сам я так не считаю, но пока я намерен согласиться с частотной теорией в том, что вероятность, как она используется в современной науке, по сути, есть то же самое, что частота.

Если все это признать, то останется фактом, что и обыденный язык, и многие великие мыслители дают нам основания для того, чтобы под рубрикой вероятности обсуждать и то, что представляется совсем иным предметом, а именно логику неполных оснований. Вполне возможно, что, как полагают некоторые сторонники частотной теории, логика неполной веры в конечном счете окажется изучением частот либо потому, что неполную веру можно определить как некоторый вид частоты или сослаться на некоторый вид частоты, либо потому, что она может стать предметом логического рассмотрения только как основанная на полученных опытным путем частотах. Оценить обоснованность этих утверждений мы сможем, однако, только в результате нашего изучения неполной веры, так что я предлагаю пока оставить частотную теорию без внимания и заняться исследованием логики неполной веры. Здесь, я думаю, будет более удобно начать не прямо с разработки своей собственной теории, а с разбора взглядов м-ра Кейнса, которые очень хорошо известны и в основных положениях являются настолько широко признанными, что читатели, вероятно, сочтут обращение к этой теме de novo лишенным оснований, пока эти взгляды не будут опровергнуты.

2. Теория м-ра Кейнса.

М-р Кейнс[693] начинает с предположения, что мы делаем вероятные выводы, которым приписываем объективную правильность; что мы переходим от полной веры в одно суждение к неполной вере в другое и утверждаем, что этот переход является объективно правильным, так что если бы кто-либо при сходных обстоятельствах испытывал иную по степени веру, он бы ошибался. М-р Кейнс объясняет это тем, что по его предположению между любыми двумя суждениями, взятыми как посылка и заключение, имеет место одно и только одно отношение определенного вида, называемое вероятностным отношением, и если в любом данном случае это отношение характеризуется степенью ?, мы должны, если мы рациональны, перейти от полной веры в посылку к вере степени ? в заключение.

Прежде чем приступить к критике этого взгляда, мне, возможно, позволят отметить один очевидный и легко устранимый недостаток в его формулировке. Когда утверждается, что степень вероятностного отношения совпадает со степенью веры, которую оно оправдывает, видимо, предполагается, что и вероятностное отношение, с одной стороны, и степень веры, с другой, могут быть естественным образом выражены в числах и что число, выражающее вероятностное отношение или служащее его мерой, совпадает с числом, выражающим соответствующую степень веры. Но если, как считает м-р Кейнс, эти вещи не всегда можно выразить с помощью чисел, то мы не можем дать такого простого истолкования его утверждению о том, что степень одного совпадает со степенью другой, а должны предположить, что он имеет в виду однозначное соответствие между вероятностными отношениями и степенями веры, которые они оправдывают. Ясно, что это соответствие должно сохранять отношения «больше» и «меньше», и поэтому оно делает множество вероятностных отношений и множество степеней веры подобными в смысле м-ра Рассела. На мой взгляд, очень жаль, что м-р Кейнс не видит этого, потому что точность этого соответствия послужила бы достойным поводом для изрядного скептицизма, как и числовое измерение вероятностных отношений. Фактически многие из его доводов против числового измерения этих отношений, как представляется, сохраняют свою силу также и против установления точного соответствия их степеням веры; например, он утверждает, что если ставки страхования соответствуют субъективным, т. е. действительным степеням веры, то они не определены рациональным образом, и поэтому нельзя заключить, что вероятностные отношения могут быть измерены сходным образом. Можно показать, что в этом случае истинным заключением было бы не то, что, как считает м-р Кейнс, нечисловому вероятностному отношению соответствует нечисловая степень рациональной веры, а то, что степени веры, которые всегда являются числовыми, не соответствуют однозначно вероятностным отношениям, которые их оправдывают. Ибо, я полагаю, вполне допустимо, что степени веры можно было бы измерять с помощью психогальванометра или какого-либо другого подобного прибора, и м-р Кейнс вряд ли бы пожелал заключить отсюда, что все вероятностные отношения можно было бы производным образом измерить с помощью мер, использовавшихся для измерения веры, которую они оправдывают.

Но вернемся теперь к более существенной критике взглядов м-ра Кейнса. Очевидное возражение состоит в том, что, по-видимому, на самом деле не существует ничего такого, что он описывает как вероятностные отношения. Он полагает, что, по крайней мере в некоторых случаях, они могут быть объектом восприятия, но если говорить обо мне, то я совершенно уверен, что это не так. Я не воспринимаю их, и чтобы меня убедить в их существовании, необходимо привести аргументы; более того, я сильно сомневаюсь в том, что и другие люди их воспринимают, потому что они демонстрируют очень мало согласия относительно того, какое из этих отношений связывает любые два суждения. Все что мы, похоже, знаем о них, – это определенные общие положения, законы сложения и умножения; это как если бы каждый знал законы геометрии, но никто не мог бы делать различия между круглым и квадратным объектом. Я с трудом могу представить, как такой большой корпус общих знаний может сочетаться с таким скудным запасом конкретных фактов. Конечно, относительно некоторых отдельных случаев существует согласие, но эти случаи, как это ни парадоксально, всегда очень сложны; мы все согласны, что вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна 1/2, но никто из нас не может точно сказать, что является свидетельством, выступающим вторым членом в вероятностном отношении, которое мы оцениваем в этом случае. В то же время, если мы возьмем самые простые возможные пары суждений, такие как «Это красное» и «То голубое» или «Это красное» и «То красное», логические отношения между которыми несомненно должны быть наиболее легко усматриваемыми, никто, я думаю, не станет делать вид, что знает, каким является вероятностное отношение, которое их связывает. Или, возможно, кто-то способен заявить, что усматривает это отношение, но при этом он будет не состоянии что-то достоверно утверждать о нем: например сказать, больше оно или меньше 1/3 и т. п. Конечно, могут сказать, что оно несопоставимо ни с каким числовым отношением, но отношение, о котором можно сказать так мало истинного, представляет немного пользы для науки, и очень трудно убедить скептика в том, что оно существует. К тому же это представление довольно парадоксально; ибо любой защитник индукции должен признать, что между «Это красное», взятым как заключение, и «Это круглое», взятым вместе с миллиардом суждений вида «а круглое и красное» в качестве свидетельства, имеется конечное вероятностное отношение. Ведь трудно предположить, что в ходе накопления примеров вдруг наступает момент, скажем после 233 примеров, когда вероятностное отношение становится конечным и потому сопоставимым с некоторыми числовыми отношениями.

Мне представляется, что если мы возьмем два суждения «a красное» и «b красное», мы не сможем выделить более четырех простых логических отношений между ними, а именно тождество формы, тождество предикатов, несходство субъектов и логическая независимость значения. Если бы меня спросили, какую вероятность одно из них придает другому, я бы не стал для ответа на этот вопрос рассматривать эти суждения, пытаясь выявить логическую связь между ними. Скорее я постарался бы представить себе, что одно из них – это все, что мне известно, и затем угадать, с какой степенью доверия мне следует отнестись к другому. Если бы мне удалось это сделать, я, несомненно, мог бы этим не удовлетвориться и сказать: «Это я так думаю, но я все же глуп», затем обратиться к рассмотрению того, что мудрый человек назвал бы степенью веры. Об этом виде самокритики я скажу позже при изложении собственной теории; здесь же я хочу лишь заметить, что при оценке степени вероятности никто не занимается простым созерцанием двух суждений, которые, как предполагается, она связывает; человек всегда учитывает inter alia свою собственную действительную или предполагаемую степень веры. Это замечание родилось из моих наблюдений за собственным поведением, и оно представляется мне единственным объяснением того факта, что все мы можем давать оценку вероятности в случаях, взятых из реальной жизни, но совершенно неспособны это делать в наиболее простых, с логической точки зрения, случаях, в которых вероятность, будь она логическим отношением, было бы легче всего усмотреть.

Еще один довод против теории м-ра Кейнса, я думаю, можно почерпнуть из его неспособности строго следовать ей даже при обсуждении первых принципов. Возьмем отрывок из его главы об измерении вероятностей, в котором говорится следующее:

«Вероятность (см. гл. 2, пункт 11) имеет отношение к законам человеческого разума. Степень вероятности, которую нам рационально принять, не предполагает строго логичного рассмотрения и отчасти относится к вторичным суждениям, которые нам в действительности известны; не зависит она и от возможности или невозможности более строгого логического рассуждения. Это такая степень вероятности, к которой ведут логические процедуры, доступные нашему разуму, или, используя терминологию второй главы, такая, которую подтверждают вторичные суждения, нам в действительности известные. Если мы не принимаем такое представление о вероятности, если мы не ограничиваем ее таким образом и не соотносим ее с человеческими способностями, мы погружаемся в область неизвестного; ибо мы не можем даже знать, какая степень вероятности подтверждалась бы воспринимаемыми нами логическими отношениями, которые мы не способны и, должно быть, никогда не будем способны постичь» (см. выше.).

Это кажется мне совершенно несовместимым с теми представлениями, которых м-р Кейнс придерживается во всей книге, за исключением этого и еще одного сходного отрывка. Ибо он, как правило, полагает, что степень веры, которую мы вправе соотнести с заключением некоторого рассуждения, определяется тем, какое вероятностное отношение связывает это заключение с посылками. Существует только одно такое отношение и, стало быть, одно соответствующее истинное вторичное суждение, которое, конечно же, мы можем знать или не знать, но которое совершенно не зависит от человеческого разума. Если мы не знаем его, то и не знаем и не можем определить, в какой степени нам следует верить в заключение. Но часто, полагает он, мы действительно его знаем; вероятностные отношения не являются чем-то непостижимым для нас. При таком подходе процитированный выше отрывок не имеет смысла: вероятные мнения оправдываются вероятностными отношениями и бессмысленно говорить, что сами эти отношения оправдываются логическими связями, которые мы не способны и, должно быть, никогда не способны постичь. Важность этого отрывка для наших нынешних целей заключается в том, что в нем, видимо, предполагается иной взгляд на вероятность, для которого неопределимые вероятностные отношения не имеют значения, а степень рациональной веры зависит от разнообразных логических связей. Например, между посылкой и заключением может быть такое отношение, что посылка является логическим произведением тысячи обобщаемых примеров, а заключение – еще одним таким примером, и это отношение, которое не является неопределимым вероятностным отношением, но определяется с помощью обычной логики и легко распознается, может поэтому оправдывать определенную степень веры в заключение у того, кто принимает посылку. Таким образом, мы имели бы разнообразие обычных логических связей, оправдывающих одинаковые или разные степени веры. Сказать, что вероятность a при условии h является такой-то, означало бы, что между a и h имеется отношение, оправдывающее такую-то степень веры. И с этой точки зрения был бы реальный смысл в том, что рассматриваемое отношение не должно принадлежать к числу тех отношений, которые человеческий разум не способен постичь.

Этот второй взгляд на вероятность как на что-то такое, что зависит от логических отношений, но само не является еще одним логическим отношением, представляется мне более правдоподобным, чем привычная трактовка м-ра Кейнса, но это вовсе не означает, что я склонен согласиться с ним. Этот взгляд подразумевает несколько туманную идею логического отношения, оправдывающего некоторую степень веры, которую я не хочу принимать как неопределимую, поскольку она вовсе не представляется ясным или простым понятием. К тому же сложно сказать, какими логическими отношениями какие степени веры оправдываются и почему; любое решение здесь было бы произвольным и имело бы итогом логику вероятности, состоящую из множества так называемых необходимых фактов подобно формальной логике, вырастающей из представления м-ра Чадвика о логических константах.[694] Поэтому, на мой взгляд, лучше поискать объяснение этой «необходимости», взяв за образец работу м-ра Витгенштейна, которая позволяет нам ясно увидеть, в каком именно смысле и почему логические суждения являются необходимыми и почему вообще система формальной логики состоит из суждений, из которых она состоит, и что является их общей чертой. Так же как естественные науки пытаются объяснить и описать факты природы, так и философии, в каком-то смысле, следует попытаться объяснить и описать логические факты – задача, которую игнорирует философия, отметающая эти факты как непостижимо «необходимые» в неопределимом смысле.

Здесь я хочу завершить свою критику теории м-ра Кейнса, но не потому, что в иных аспектах она не вызывает возражений, а потому, что, как я надеюсь, сказанного уже достаточно, чтобы показать, что она не так уж удовлетворительна и не лишает смысла любую попытку посмотреть на предмет обсуждения с иной точки зрения.

3. Степени веры[695].

Предметом нашего исследования является логика неполной веры, и мы вряд ли сможем сколько-нибудь продвинуться в прояснении его, пока у нас не будет хотя бы приблизительного представления о том, что такое неполная вера и как ее можно, если вообще можно, измерить. Если нам говорят, что при таких-то обстоятельствах было бы рационально испытывать веру степени 2/3 в некоторое суждение, это не будет для нас информативным, пока мы не знаем, что означает такого рода вера в него. Мы должны, следовательно, попытаться разработать чисто психологический метод измерения веры. Недостаточно измерить вероятность; чтобы правильно соотнести нашу веру с вероятностью, мы должны уметь измерять нашу веру.

Обычно считается, что веру и другие психологические переменные величины нельзя измерить, и если это так, то наше исследование будет тщетным; таковой будет и вся теория вероятностей, рассматриваемая как логика неполной веры, ибо если выражение «вера, соответствующая 2/3 достоверности» бессмысленно, исчисление, единственная цель которого состоит в том, чтобы предписывать такую веру, тоже будет бессмысленным. Поэтому если мы не готовы признать наше предприятие безнадежным, мы обязаны принять, что вера в определенных пределах может быть измерена. Если бы мы хотели соблюсти сходство с трактовкой вероятностей м-ром Кейнсом, мы бы сказали, что какая-то вера измерима, а какая-то – нет, но это, как мне представляется, непохоже на правильную постановку вопроса: я не понимаю, как можно четко разделить веру на такую, которой есть место на числовой шкале, и такую, для которой такого места нет. Но я думаю, что в разных случаях вера действительно различается по своей измеримости в двух следующих смыслах. Во-первых, одна вера может быть более точно измерена, чем другая, и, во-вторых, измерение веры определенно является неоднозначной процедурой, приводящей к различным ответам в зависимости от того, как именно осуществляется измерение. В этом отношении степень веры подобна временному интервалу между двумя событиями. До Эйнштейна предполагалось, что все обычные способы измерения временного интервала дают один и тот же результат при их надлежащем выполнении. Эйнштейн же показал, что это не так и временной интервал нельзя больше считать точным понятием, поэтому его следует перестать использовать во всех точных исследованиях. Тем не менее временной интервал и ньютоновская система обеспечивают достаточную точность для многих целей и являются более простыми в применении.

Позже я постараюсь показать, что степень веры подобна временному интервалу; она не имеет точного значения, если мы четко не укажем, как именно ее следует измерять. Но для многих целей мы можем допустить, что альтернативные способы ее измерения приводят к одинаковому результату, хотя это только приблизительно верно. В итоге расхождения при оценке одной веры больше бросаются в глаза, чем при оценке другой, и поэтому первая вера кажется менее измеримой. Оба эти препятствия, вызванные, соответственно, трудностью проведения довольно точного измерения и существенной неоднозначностью самого определения процедуры измерения, имеют место и в физике и потому не являются затруднениями, присущими только нашей проблеме. Специфическим для нашей проблемы является то, что трудно сформулировать какую-либо идею о том, как проводить измерение, как найти единицу измерения и т. п.

Рассмотрим в таком случае, что подразумевается под измерением веры. Удовлетворительная система должна в первую очередь присваивать каждой вере величину или степень, занимающую определенную позицию в последовательности величин; веры, имеющие одинаковую степень с одной и той же верой, должны иметь одинаковую степень и друг с другом. Конечно, этого нельзя достичь без принятия определенного числа гипотез или условностей. Даже в физике мы не можем утверждать, что две вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой, если только мы понимаем «равны» не в значении «равны по ощущению», а как некоторое воображаемое или гипотетическое отношение. Я не хочу обсуждать метафизические или эпистемологические аспекты этой процедуры, но отмечу лишь, что если это допустимо в физике, то допустимо и в психологии тоже. Логической простоты, характерной для отношений, с которыми имеет дело наука, никогда не добиться, обращаясь только к природе, не привлекая воображения.

Однако построение такого упорядоченного ряда степеней не исчерпывает всей нашей задачи; мы должны также понятным образом приписать числа этим степеням. Мы можем, конечно, без труда пояснить, что полную веру мы обозначим как 1, полную веру в противоречивое суждение – как 0, а равную веру в суждение и противоречащее ему суждение – как 1/2. Но не так-то легко сказать, что означает вера, соответствующая 2/3 достоверности, или вера в некое суждение в 2 раза более сильная, чем вера в противоречащее ему суждение. Это более трудная часть нашей задачи, но она абсолютно неизбежна, ибо мы ведь определяем числовые значения вероятностей, и если они должны соответствовать степеням веры, нам следует найти некоторый способ приписывания чисел степеням веры. В физике мы часто приписываем числа на основе открытой физической процедуры сложения:[696] численные меры длины не приписываются произвольным образом с соблюдением только того условия, что большая длина должна иметь большую меру; мы определяем их далее, принимая решение относительно физического значения сложения; длина, получаемая путем сложения двух данных длин, должна иметь в качестве своей меры сумму их мер. Система измерения, в которой этому ничего не соответствует, сразу же признается произвольной, как например шкала твердости Мооса,[697] согласно которой число 10 произвольным образом приписывается алмазу, самому твердому из известных материалов, 9 – следующему по твердости и т. д. Нам нужно, стало быть, найти процедуру сложения для степеней веры или некоторый ее заменитель, который в равной мере подходил бы для определения числовой шкалы.

Такова наша задача. Как нам следует решать ее? Я думаю, есть два пути, которыми мы можем пойти. Мы можем, во-первых, предположить, что степень веры есть нечто такое, что ощущается тем, кому она присуща; например, веры отличаются по интенсивности чувства, которое их сопровождает и которое можно было бы назвать чувством веры или чувством убежденности, и под степенью веры мы могли бы иметь в виду интенсивность этого чувства. Этот подход был бы очень неудобным, ибо нелегко приписывать числа интенсивностям чувств, но помимо этого он представляется мне явно ложным, поскольку то, во что мы верим наиболее сильно, часто не сопровождается практически никакими чувствами вообще; никто не испытывает сильных чувств в отношении того, что он считает само собой разумеющимся.

Поэтому мы склоняемся ко второму предположению, гласящему, что степень веры является ее каузальным свойством, которое мы можем неточно выразить как степень нашей готовности действовать в согласии с ней. Это является обобщением хорошо известной идеи, согласно которой отличительное свойство веры заключено в ее каузальной эффективности и которую обсуждает м-р Рассел в его «Анализе сознания». Он отвергает ее по двум причинам, одна из которых представляется совершенно не относящейся к делу. Он утверждает, что в ходе наших размышлений мы принимаем многое такое, что не побуждает нас к действию. Это возражение, однако, бьет мимо цели, поскольку утверждается не то, что вера – это идея, которая на самом деле ведет к действию, а лишь то, что она привела бы к действию при соответствующих обстоятельствах; точно так же кусочек мышьяка называют ядом не потому, что он действительно кого-то убил или убьет, но потому, что он убьет любого, кто проглотит его. Второе возражение м-ра Рассела, однако, труднее отклонить. Как он указывает, нельзя предположить, что суждения, в которые мы верим, отличаются от других идей только своими последствиями, ибо если бы они были во всем остальном тождественными, были бы тождественными и их последствия. Это совершенно верно, но все же нельзя не учитывать, что природа различия между рассматриваемыми причинами совсем неизвестна или известна очень смутно, а мы хотим говорить лишь о различии между вызванными ими последствиями, которое легко наблюдается и является важным.

При количественном рассмотрении веры этот подход представляется мне единственно возможным. Вполне можно было бы полагать, что различие между верой и неверием связано с присутствием или отсутствием интроспектируемых чувств. Но когда мы пытаемся установить, каково различие между более твердой и менее твердой верой, мы не можем и дальше считать, что оно состоит в наличии больших или меньших наблюдаемых чувств; по крайней мере я лично не могу распознать никаких подобных чувств. Различие, на мой взгляд, заключается в том, насколько мы можем действовать в согласии с тем, во что верим: это может зависеть от интенсивности некоторого чувства или чувств, но я не знаю точно, каких именно чувств, и не вижу необходимости в том, чтобы мы знали это. То же самое имеет место и в физике: было обнаружено, что провод, соединяющий цинковые и медные пластины, помещенные в кислоту, вызывает отклонение находящейся рядом магнитной стрелки. В соответствии с тем, насколько сильно отклоняется стрелка, говорят о том, что по проводу течет больший или меньший ток. О природе этого «тока» можно строить лишь предположения: наблюдению и измерению поддаются только его проявления. Несомненно, нам возразят, что мы знаем, насколько сильно мы верим во что-то и что мы способны знать это только, если мы можем измерить нашу веру с помощью интроспекции. Я не считаю, что это обязательно так; во многих случаях наша оценка силы нашей веры, по сути, есть оценка того, как нам следует действовать в гипотетических обстоятельствах. В ответ нам укажут, что мы можем сказать, как нам следует действовать, только наблюдая нынешнее чувство веры, определяющее, как нам следует действовать, но опять же у меня есть сомнения в убедительности этого довода. То, что определяет, как нам следует действовать, возможно, напрямую или опосредованно заставляет нас составить правильное мнение о том, как нам следует действовать, хотя это никогда нами не осознается.

Предположим, однако, что я не прав и что мы можем определить с помощью интроспекции характер веры и измерить ее степень; тем не менее я намерен доказать, что измерение веры, с которым связана вероятность, относится не к этому виду, а является измерением веры qua основы для действия. Думаю, это можно показать двумя способами. Во-первых, рассмотрев шкалу вероятностей от 0 до 1 и то, как мы ее используем, мы обнаружим, что она очень хорошо подходит для измерения веры как основания для действия, но никоим образом не связана с измерением интроспектируемого чувства. Ибо единицами, в которых подобные чувства и ощущения измеряются, я думаю, всегда являются только заметные различия: иного способа получения единиц не существует. Но я не вижу оснований предполагать, что интервал между верой степени 1/3 и верой степени 1/2 содержит столько же заметных изменений, как и интервал между верой степени 2/3 и верой степени 5/6, или что шкала, основанная только на заметных различиях, имела бы какое-либо простое отношение к теории вероятностей. Вместе с тем вероятность, равная 1/3, имеет ясную связь с тем видом веры, который привел бы к заключению пари с соотношением ставок 1 к 2, и дальше я покажу, как можно обобщить идею этой связи применительно к действию вообще. Во-вторых, количественные аспекты веры как основы для действия очевидно более важны, чем интенсивности чувства веры. Последние представляют несомненный интерес, но могут сильно варьировать от индивида к индивиду, и их практическая значимость полностью определяется их статусом гипотетических причин для веры как основы для действия.

Возможно, кто-то возразит, что то, насколько нам следует действовать в согласии с верой в соответствующих обстоятельствах, есть нечто гипотетическое и потому не поддающееся измерению. Но говорить так значит просто обнаруживать незнание физики, которая постоянно имеет дело с гипотетическими величинами и их измерением; например, электрическое напряжение в данной точке есть сила, которая действовала бы на единичный заряд, если бы его поместили в эту точку.

Давайте теперь попытаемся найти метод измерения веры как основания для возможного действия. Ясно, что нас интересует диспозициональная, а не актуализированная вера, т. е. не вера в тот момент, когда мы думаем о том, во что верим, а вера вроде моей веры в то, что Земля круглая, о чем я редко думаю, но что направляло бы мои действия во всех случаях, имеющих к этому отношение.

Старинный способ измерения веры человека состоит в том, чтобы предложить ему пари и посмотреть, при каком наименьшем шансе он согласится. Я считаю этот метод разумным в своей основе, но его недостаток состоит в его неуниверсальности и неизбежной неточности. Он неточен отчасти из-за убывающей предельной полезности денег, а отчасти из-за того, что человек может испытывать особое расположение или нежелание к заключению пари, например, из-за того, что он любит или не любит делать ставки в силу ощущаемого волнения или по любой другой причине. Это затруднение аналогично тому, что имеет место при разделении двух разных, но совместно действующих сил. Кроме того, предложение заключить пари может побудить его изменить свое мнение; точно так мы не могли бы измерить электрическое напряжение, действительно внеся заряд и установив, действию какой силы он подвергается, поскольку внесение заряда изменило бы измеряемое распределение.

С тем чтобы построить теорию значений веры, которая будет одновременно общей и более точной, я предлагаю взять за основу общую психологическую теорию, которую сейчас повсеместно отвергают, но которая тем не менее, я думаю, очень близка к истине в такого рода случаях, которые нам более всего интересны. Я имею в виду теорию, согласно которой мы действуем таким образом, который, как мы полагаем, скорее всего приведет нас к желаемому, так что действия человека полностью детерминируются его желаниями и тем, во что он верит. Эту теорию нельзя согласовать со всеми фактами, но она представляется мне полезным приближением к истине особенно, когда речь идет о нашей сознательной и профессиональной жизни, и именно о ней мы по большей части размышляем. Эту простую теорию многие психологи, очевидно, пожелали бы сохранить, дополнив неосознаваемыми желаниями и неосознаваемыми верованиями с тем, чтобы она больше соответствовала фактам. Насколько подобные фикции помогут достичь желаемого результата, я не берусь судить; я лишь претендую на приблизительную истину или истину применительно к искусственной психологической системе, которая, подобно ньютоновской физике, может, я думаю, использоваться с пользой для дела, даже если мы знаем, что она ложна.

Нужно отметить, что эту теорию не следует отождествлять с психологической теорией утилитаристов, в которой доминирующее положение занимает удовольствие. Согласно предлагаемой мной теории, мы стремимся к чему-то желаемому, а им может быть наше собственное удовольствие или удовольствие других людей или вообще что угодно, и наши действия таковы, что они, как мы полагаем, скорее всего приведут к достижению этого блага. Но это неточная формулировка, ибо точно сформулировать теорию мы сможем только после того, как введем понятие величины веры.

Назовем те вещи, которые человек прежде всего желает, «благами» и примем для начала, что они поддаются числовому измерению и сложению. Иными словами, если человек предпочитает час плавания часу чтения, он предпочтет два часа плавания одному часу плавания и одному часу чтения. Конечно, в данном случае это звучит нелепо, но только потому, что плавание и чтение не являются основными благами и мы не можем представить себе, что второй час плавания точно похож на первый, учитывая усталость и т. п.

Давайте сначала предположим, что наш субъект ни в чем не испытывает сомнений и имеет определенное мнение по всем вопросам. Тогда мы можем сказать, что он всегда будет выбирать тот образ действий, который, по его мнению, приведет к наибольшей сумме благ.

Следует подчеркнуть, что в этой статье благо и зло никогда не истолковываются в каком-либо этическом смысле, но просто обозначают то, чего данный человек желает или то, чего он стремится избежать.

Тогда встает вопрос, как нам следует изменить эту простую систему, чтобы учесть различные степени его веры. Я предлагаю ввести в качестве психологического закона положение, согласно которому поведение человека регулируется тем, что можно назвать математическим ожиданием; иначе говоря, если р – суждение, относительно которого у него есть сомнения, любые благо или зло для достижения которых, с его точки зрения, р является необходимым и достаточным условием, участвуют в его вычислениях, будучи помноженными на одну и ту же дробь, которая называется «степенью его веры в р». Итак, мы определяем степень веры способом, предполагающим использование математического ожидания.

Мы можем сформулировать это по-другому. Допустим, что степень его веры в р равна m / n; тогда его действие является тем, которое он выбрал бы, если бы должен был повторить его точно n раз, из которых в m случаях р было бы истинным, а в остальных случаях ложно. (Здесь, возможно, нужно предположить, что в каждом из n случаев он не помнит предыдущие случаи.).

Это также можно считать определением степени веры и можно легко показать, что оно эквивалентно предыдущему определению. Возьмем в качестве примера случай, который вполне мог бы иметь место. Я стою на развилке и не знаю, куда идти, но склоняюсь к тому, чтобы признать одну из этих двух дорог правильной. Поэтому я решаю пойти этой дорогой, следя за тем, не появится ли кто-нибудь, кого можно было бы спросить; если теперь я вижу в полумиле человека, идущего по полю, то сверну ли я со своей дороги, чтобы спросить его, будет зависеть от того, что является б?льшим неудобством – свернуть с дороги и пересечь поле или продолжать идти неверной дорогой, если она окажется таковой. Но это также зависит от того, насколько я уверен в своей правоте, и ясно, что чем больше я уверен, тем меньшее расстояние я готов преодолеть, чтобы проверить свое предположение. Я предлагаю, таким образом, использовать расстояние, которое я готов пройти, чтобы справиться о дороге, в качестве меры своей уверенности в этом предположении. Сказанное выше ясно показывает, как это можно сделать. Мы можем описать это следующим образом: пусть ущерб от преодоления х ярдов, чтобы справиться о дороге, это f (x), выгоды от достижения пункта назначения – это r, ущерб от достижения неправильного пункта – w. Тогда, если я готов пройти расстояние d, чтобы спросить, то степень моей веры в то, что я на правильной дороге, определяется как.

P =1– f (d) /(r – w).

Ибо таковым является действие, которое мне выгодно было бы предпринять, если бы я должен был действовать одинаковым образом n раз, из которых в np случаях я был бы на правильной дороге, а в остальных случаях – нет.

Общее благо, которое я получаю всякий раз, когда решаю не спрашивать, находясь на расстоянии d от человека, которого могу спросить,

= npr + n (1 – p)w.

= nw + np (r – w).

Общее благо, получающееся, когда я каждый раз решаю спросить,

= nr – nf (x). (Здесь я всегда иду правильно.).

Это будет больше, чем предыдущее выражение при условии, что.

F(x) < (r – w)(1 – p),

Таким образом, предельное расстояние d связано со степенью веры соотношением – f(d) = (r – w)(1 – p) или p =1 – f (d) /(r – w)., как утверждалось выше.

Нетрудно заметить, что этот способ измерения веры дает результаты, согласующиеся с обычными представлениями, по крайней мере с тем, что полная вера обозначается как 1, полная вера в противоречивое суждение – как 0, а равная вера в оба эти суждения – как 1/2. Далее, допускается возможность пари как средства измерить веру. Допуская пари относительно р, мы предоставляем субъекту возможный образ действия, позволяющий ему много получить, если р истинно, или много потерять, если р ложно. Если предположить, что пари заключается не на деньги, а на благо или потери, то он заключит пари при любом шансе большем, чем шанс, соответствующий степени его веры; по сути, его вера измеряется ставками, которые он сделает, однако это рассуждение может оказаться не совсем точным, если учесть отношение человека к переживаемому волнению и тот факт, что пари заключается на деньги, а не просто на благо или зло. Поскольку всеми признается, что деньги имеют падающую предельную полезность, очевидно, что если ставки выражены в деньгах, они должны быть как только возможно мелкими. Но и тогда измерение искажается из-за отношения человека к возможным потерям. Давайте теперь откажемся от того допущения, что благо можно непосредственно измерять и складывать, и попытаемся разработать теорию с минимально возможным числом допущений. Для начала предположим, как и раньше, что наш субъект обо всем имеет определенное мнение, тогда он станет действовать так, чтобы совокупные последствия, которые, как он считает, будет иметь его действие, были наилучшими из возможных. Если бы мы обладали властью Всевышнего и сумели убедить в этом нашего субъекта, мы могли бы предложить ему на выбор все возможные варианты течения событий с тем, чтобы он упорядочил их по степени предпочтения. Таким образом все возможные ситуации были бы упорядочены, но у нас не было бы возможности придать им числовые значения. Было бы бессмысленно утверждать, что разница между ценностью ? и ценностью ? равна разнице в ценности ? и ?. (Здесь и далее мы используем греческие буквы для обозначения различных возможных совокупностей событий – максимальных единых целостностей, между которыми выбирает наш субъект.).

Предположим далее, что субъект способен сомневаться; тогда мы могли бы установить степень его веры в различные суждения, предложив ответить на следующий вопрос. Предпочел бы он в любом случае состояние ? или ?, если р истинно, и состояние ?, если р ложно? Если бы он был полностью уверен в истинности р, он просто сравнил бы ? и ? и выбирал бы между ними, как если бы никаких условий не налагалось; но если бы он испытывал сомнения, его выбор не был бы столь простым. Я предлагаю установить аксиомы и определения, касающиеся принципов, которые определяют выбор такого рода. Это, конечно, весьма схематичное описание ситуации из реальной жизни, но, я думаю, в таком виде ее легче рассматривать.

Сначала нужно разрешить одно затруднение; суждения типа р из приведенного выше примера, используемые в качестве условий в данном выборе, могут быть такими, что субъект может желать, чтобы они были истинными или ложными. Это, как будет показано, усложняет нашу задачу, и нам приходится допустить, что имеются суждения, для которых это не так; мы будем называть их этически нейтральными. Говоря точнее, атомарное суждение р называется этически нейтральным, если две возможные ситуации, различающиеся только истинностью р, всегда имеют равную ценность; а неатомарное суждение р называется этически нейтральным, если все составляющие его атомарные аргументы, относящиеся к его истинности,[698] являются этически нейтральными.

Мы начнем с определения веры степени 1/2 в этически нейтральное суждение. Субъект имеет веру степени 1/2 в такое суждение р, если у него нет предпочтений при выборе между (1) ?, если р истинно, и ?, если р ложно, или (2) ?, если р ложно, и ?, если р истинно, при этом его предпочтения касаются лишь ? и ?. Мы предполагаем в качестве аксиомы, что если это верно в отношении какой-то одной пары ?, ?, то это верно в отношении всех подобных пар.[699] Приблизительно это совпадает с определением веры степени 1/2 как такой, которая имеет следствием то, что при одинаковых ставках человеку безразлично, на что ставить в пари.

Веру степени 1/2, определенную указанным способом, можно следующим образом использовать для числового выражения ценности. Нам нужно объяснить, что означает, что разность между ценностью ? и ценностью ? равна разности между ценности ? и ценности ?, и мы определим это так: если р является этически нейтральным суждением, степень веры в которое равна 1/2, то субъект не имеет предпочтений при выборе между (1) ?, если р истинно, ?, если р ложно, или (2) ?, если р истинно, ?, если р ложно.

Это определение можно положить в основу системы измерения ценности следующим образом.

Назовем любое множество всех состояний, в равной мере предпочтительных данному, ценностью: мы предполагаем, что если состояние ? предпочтительнее ?, то любое состояние, ценность которого такая же, что и ценность ?, будет предпочтительнее любого состояния, имеющего ту же самую ценность, что и ?; и будем говорить, что ценность ? больше, чем ценность ?. Это отношение «больше, чем» позволяет упорядочить ценности. В дальнейшем мы будем использовать ? применительно как к состоянию, так и к его ценности.

Аксиомы.

1. Существует этически нейтральное суждение р, степень веры в которое равна 1/2.

2. Если p, q являются такими суждениями и выбор ?, если р, ?, если не-p, эквивалентен выбору ?, если р, ?, если не-p, тогда выбор ?, если q, ?, если не-p, эквивалентен выбору ?, если q, ?, если не-q.

Def. В указанном случае мы говорим, что ?? = ??.

Теоремы.

Если ?? = ??,

То ?? = ??, ?? = ??, ?? = ??.

2а. Если ?? = ??, то ? > ? эквивалентно ? > ?, и ? = ? эквивалентно ? = ?.

3. Если выбор А эквивалентен выбору В, а выбор В – выбору С, то выбор А эквивалентен выбору С.

Теорема: Если ?? = ?? и ?? = ??, то ?? = ??.

4. Если ?? = ??, ?? = ??, то ?? = ??.

5. (?, ?, ?). Е!(?х)(?х = ??).

6. (?, ?). Е!(?х)(?х = х?).

7. Аксиома непрерывности.

8. Аксиома Архимеда.

Эти аксиомы позволяют поставить ценности в однозначное соответствие с действительными числами, так что если ?1 соответствует ? и т. д., то.

?? = ??. ?.?1 – ?1 = ?1 – ?1.

В дальнейшем мы будем использовать ? также для обозначения соответствующего ему действительного числа ?1.

Определив таким образом способ измерения ценностей, мы можем теперь получить способ измерения веры вообще. Если достоверно, что выбор ? является нейтральным по отношению к выбору ?, если р истинно, и – ?, если р ложно,[700] мы можем определить степень веры субъекта в р как отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для всех ?, ? и ?, удовлетворяющих указанным выше условиям. Это приблизительно совпадает с определением степени веры в р с помощью шансов, когда субъект ставит на р, учитывая, что пари заключается в терминах ценностных различий, определенных выше. Это определение применяется только к неполной вере и не охватывает достоверной веры; для веры степени 1 в р, ? достоверно является нейтральным в отношении ?, если р, и любого ?, если не-p.

Мы способны также дать определение очень полезной новой идеи – «степени веры в р при условии q». Она не означает степень веры в суждение: «если р, то q» или в суждение: «из р следует q» или же степень веры в р, которую имел бы субъект или должен был бы иметь, если бы знал q. Она приблизительно выражает шансы, при которых он поставил бы на р при условии, что пари имело бы силу, только если q истинно. Такие условные пари часто заключались в XVIII в.

Степень веры в р при условии q, измеряется следующим образом. Допустим, что субъект индифферентно относится к выбору между:

1) ?, если q истинно, и ?, если q ложно,

И 2) ?, если р истинно и q истинно, и ?, если р ложно и q истинно,

И ?, если q ложно. Тогда степень его веры в р есть отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для любых ?, ?, ?, ?, удовлетворяющих данным условиям. Это не то же самое, что степень, с которой он верил бы в р, если бы считал q достоверным; ибо знание q могло бы по психологическим причинам серьезно изменить всю систему его мнений и убеждений.

Каждое из наших определений сопровождалось аксиомой совместимости, и как только она нарушается, понятие соответствующей степени веры становится неправомерным. Здесь имеется некоторое сходство с понятием одновременности, о котором говорилось выше.

Я не разработал подробную математическую логику, поскольку, думаю, это было бы подобно вычислению результата с точностью до седьмого знака десятичной дроби, тогда как значим только результат с точностью до двух знаков. От моей логики нельзя ждать большего, чем то, как она может работать.

На основе этих определений и аксиом можно доказать основные законы вероятности для веры в суждение (степени веры находятся в диапазоне от 0 до 1):

1. Степень веры в р + степень веры в не-p = 1.

2. Степень веры в р при условии q + степень веры в не-p при условии q = 1.

3. Степень веры в (р и q) = степени веры в р ? на степень веры в q при условии р.

4. Степень веры в (p и q) + степень веры в (p и не-q) = степень веры в р.

Первые два прямо следуют из определений. Третье утверждение доказывается следующим образом.

Пусть степень веры в р = х, а в q при условии р = y. Тогда ? достоверно ? ? + (1 – x)t, если р истинно, и ? – xt, если р ложно при любом t.

? + (1 – x)t, если р истинно, ?

? + (1 – x)t + (1 – y)u, если ‘p и q’ истинно, и.

? + (1 – x)t – yu, если р истинно, q ложно; при любом u.

Выберем u такое, что ? + (1 – x)t – yu = ? – xt, т. е. пусть u = t/y (y ? 0).

То гд а ? достоверно ?

? + (1 – x)t + (1 – y) t/y, если р и q истинны,

? – xt в противном случае.

Тогда степень веры в ‘ p и.

Если y = 0, пусть t = 0.

Тогда ? достоверно ? ?, если р истинно, и ?, если р ложно.

? ? + u, если р истинно и q истинно; ?, если р истинно, а q ложно; ?, если р ложно.

? ? + u, если рq истинно, ?, если pq ложно.

Тогда степень веры в pq = 0.

Четвертое утверждение следует из второго и третьего:

Степень веры в pq = степень веры в p ? степень веры в q при условии p, согласно (3). Сходным образом степень веры в pq = степени веры в p ? степень веры в не-q при условии р. Тогда их сумма равна степени веры в р, согласно (2).

Это – законы вероятности, которые, как мы доказали, являются необходимо истинными для любого совместимого множества степеней веры. Любое конкретное множество степеней веры, для которого они не выполняются, является несовместимым в том смысле, что нарушаются законы предпочтения вариантов выбора, например закон, согласно которому предпочтительность является транзитивным несимметричным отношением, и если ? предпочтительнее ?, то ? достоверно не может быть предпочтительнее ?, если р, и ?, если не-p. Если бы кто-то из-за своего психического состояния нарушил эти законы, его выбор зависел бы от того, в каком именно виде ему были предложены варианты, и выбор был бы нелепым. Какой-либо хитрец мог бы заключить с этим человеком пари на невыгодных для последнего условиях, и тот проиграл бы при любом исходе.

Таким образом, как мы видим, точное описание природы неполной веры показывает, что законы вероятности – это законы совместимости, распространение на неполную веру формальной логики и логики совместимости. В своем значении они не зависят ни от какой степени веры в суждение, которая однозначно определяется как рациональная вера; они просто выделяют множества мнений (beliefs), которые подчиняются этим законам, поскольку являются совместимыми.

Обладание верой любой конкретной степени подразумевает определенную меру последовательности (совместимости), а именно готовность заключать пари относительно какого-то данного суждения с одним и тем же соотношением (любых) ставок, при том что ставки измеряются в терминах первичных ценностей. Если ваши степени веры в разные суждения подчиняются законам вероятности, это подразумевает дополнительную меру совместимости, а именно совместимость между соотношениями ставок, которые делаются при заключении пари относительно разных суждений, и это препятствует заключению пари на невыгодных для вас условиях.

Возможно, будет уместно сделать несколько замечаний в завершение этого раздела. Во-первых, в нем основной упор делался на пари, но это не будет казаться неуместным, если учесть, что вся наша жизнь в каком-то смысле и есть пари. Когда мы отправляемся на вокзал, мы делаем ставку на то, что поезда действительно ходят, и если бы у нас не было достаточной веры в это, нам следовало бы отклонить это пари и остаться дома. Выбор, который предоставляет нам Бог, всегда зависит от нашего представления о том, является ли истинным некоторое суждение. Во-вторых, я все время основывался на идее математического ожидания; неудовлетворенность, которая часто возникает в связи с ним, проистекает главным образом из неточного измерения благ. Ясно, что математическое ожидание в денежном выражении не является подходящим руководством к действию. Следует помнить при оценке моей теории, что в ней ценность действительно определяется с помощью математического ожидания в случае веры степени 1/2, и поэтому можно ожидать, что она (ценность) будет подходящим образом упорядочена и ее можно будет применять в случае и других степеней веры.

В-третьих, ничего не было сказано о степенях веры, когда число альтернатив бесконечно. По этому поводу я не могу высказать ничего полезного помимо сомнения в способности разума охватывать больше, чем конечное число альтернатив. Можно обсуждать вопросы, на которые может быть дано бесконечно много ответов, но чтобы обсуждать эти ответы, мы должны объединить их в конечное число групп. Эта трудность действительно возникает при обсуждении индукции, но и тогда, как мне кажется, нет необходимости этим заниматься. Мы можем обсуждать вопрос, можно ли на основании нашего опыта говорить о большой вероятности, что солнце взойдет завтра, при этом не задаваясь вопросом, как на основании этого опыта можно оценить вероятность того, что солнце будет вечно всходить каждое утро. По этой причине я не могу не признать неудовлетворительным обсуждение этой проблемы м-ром Ритчи;[701] действительно, мы можем согласиться с тем, что индуктивные обобщения необязательно имеют конечную вероятность, но отдельные ожидания, построенные на индуктивных основаниях, бесспорно, имеют для каждого из нас высокую вероятность. Все мы более уверены в том, что солнце взойдет завтра, чем в том, что при первом моем бросании двух костей выпадет 12, т. е. наша вера в это имеет степень больше – 35/36. Если индукция вообще нуждается в логическом оправдании, то лишь в связи с вероятностью такого рода события.

4. Логика совместимости.

Можно согласиться с тем, что в каком-то смысле дело логики – сказать нам, каких мнений нам следует придерживаться, но при интерпретации этого утверждения возникают значительные трудности. Возможно, она говорит нам, что следует считать истинным, но об этом нам говорит наука в целом, а не только логика. Нельзя в этом случае найти и никакого оправдания неполной веры; в идеальном варианте самое лучшее – это иметь веру степени 1 во все истинные суждения и веру степени 0 во все ложные суждения. Но это слишком высокий эталон для смертных, и нам следует признать, что некоторая доля сомнения или даже ошибки по-человечески оправданна.

Полагаю, многие логики приняли бы в качестве описания их науки вступительные слова м-ра Кейнса к его «Трактату о вероятности»: «Часть нашего знания мы получаем непосредственно, другую же часть – путем рассуждения. Теория вероятности имеет отношение к этой, приобретаемой путем рассуждения части нашего знания, и рассматривает, в какой степени полученные таким образом выводы являются обоснованными или необоснованными» (см. с. 379 наст. изд.). Там, где м-р Кейнс говорит «теория вероятностей», другие сказали бы «логика». Иными словами, считается, что наши мнения можно разделить на те, которые мы получаем непосредственно в процессе восприятия или воспоминания, и те, которые мы получаем из первых путем рассуждения. Задача же логики состоит в том, чтобы принять первый класс мнений и подвергнуть критическому рассмотрению лишь выведение мнений второго класса из мнений первого.

Логику как науку о рассуждении и выводе традиционно и справедливо подразделяют на дедуктивную и индуктивную, но различие и связь между этими двумя разделами можно понимать очень по-разному. Согласно м-ру Кейнсу, правильные дедуктивные и индуктивные рассуждения имеют существенное сходство; и тем и другим оправданием служат логические отношения между посылками и заключением, которые различаются только по степени. Как я уже объяснил, принять эту позицию я не могу. Я не понимаю, в чем состоят эти недоказательные логические отношения и как они могут оправдывать неполную веру. В случае доказательных логических рассуждений я могу согласиться с объяснением их правильности, которое было дано многими авторитетами и которое, как можно видеть, по существу одинаково у Канта, де Моргана, Пирса и Витгенштейна. Все эти авторы сходятся в том, что заключение формально правильного рассуждения содержится в его посылках, что отрицать заключение, принимая при этом посылки, значит противоречить себе; что формальная дедукция не увеличивает нашего знания, а лишь ясно показывает то, что нам известно в иной форме; и что мы все обязаны принять правильность заключения из опасения противоречить самим себе. Логическая связь, оправдывающая такой вывод, состоит в том, что смысл или содержание вывода заключено в посылках.

Но в случае индуктивного рассуждения этого не происходит даже в малейшей степени; его невозможно представить как похожее на дедуктивное рассуждение, но имеющее лишь более слабую степень; глупо утверждать, что смысл заключения частично включен в смысл посылок. Мы можем принимать посылки и совершенно отвергать заключение, не греша никакой непоследовательностью или противоречием.

Поэтому мне представляется, что мы можем разделить рассуждения на два радикально различающихся вида, которые, говоря словами Пирса, можно охарактеризовать как (1) «экспликативные, аналитические или дедуктивные и (2) амплиативные, синтетические или (в широком смысле) индуктивные».[702] Рассуждения второго типа в важном отношении стоят ближе к воспоминаниям и восприятиям, чем к дедуктивным рассуждениям. Мы можем рассматривать восприятие, память и индукцию как три основных способа получения знания; тогда как дедукция представляет собой лишь метод упорядочения нашего знания и устранения несовместимостей или противоречий.

Логика должна тогда распадаться четко на две части: (исключив аналитическую логику, теорию терминов и суждений) мы имеем малую логику, которая является логикой совместимости или формальной логикой, и большую логику, которая является логикой открытия или индуктивной логикой.

Как мы должны теперь заметить, это различие никоим образом не совпадает с различием между достоверной и неполной верой; мы видели, что для неполной веры так же существует теория совместимости, как и для достоверной веры, хотя в силу различных причин первая не так важна, как вторая. Теория вероятности – это, по сути, обобщение формальной логики, но в ходе обобщения разрушается один из наиболее важных принципов формальной логики. Если p и не-q несовместимы, так что q логически следует из р, тогда то, что р имплицирует q, является, по словам Витгенштейна, «тавтологией» и может рассматриваться как вырожденный случай истинного суждения, не предполагающего идею совместимости. Это позволяет нам считать (не вполне корректно) формальную логику, включая математику, объективной наукой, состоящей из объективно необходимых суждений. Таким образом, это дает нам не просто ?????? ??????, т. е. если мы утверждаем р, мы обязаны, чтобы быть последовательными, утверждать также q, но и ?????? ?????,[703] т. е. если р истинно, таковым должно быть и q. Но когда мы расширяем формальную логику, чтобы охватить неполную веру, эта прямая объективная интерпретация утрачивается; если мы верим в pq со степенью 1/3 и в pq со степенью 1/3, мы обязаны, чтобы быть последовательными, верить в не-p также со степенью 1/3. Это ?????? ??????, но нельзя утверждать, что если pq на 1/3 истинно и pq на 1/3 истинно, то не-p также должно быть на 1/3 истинно, ибо это было бы полной бессмыслицей. Здесь нет соответствующего ?????? ?????. Следовательно, в отличие от исчисления для совместимой полной веры, исчисление для объективной неполной веры нельзя напрямую истолковать как совокупность объективных тавтологий.

Этого, однако, можно достичь обходным путем; мы отмечали в начале этой статьи, что исчисление вероятностей может быть истолковано в терминах соотношения двух классов; теперь мы установили, что его также можно истолковать как исчисление для совместимой неполной веры. Поэтому было бы естественно ожидать наличия тесной связи между этими двумя интерпретациями, объясняющей возможность применять одно и то же математическое исчисление к двум настолько разным совокупностям явлений. Объяснение найти нетрудно; существует множество связей между неполной верой и частотой. Например, установленные в опыте частоты часто ведут к соответствующей неполной вере, а неполная вера ведет к ожиданию соответствующих частот в согласии с теоремой Бернулли. Но ни одна из этих связей не является той, которая нам нужна; неполная вера в общем случае не может быть однозначным образом связана с какой-либо действительной частотой, ибо при установлении такой связи рассматриваемое суждение всегда берется как частный случай некой пропозициональной функции. Выбор же пропозициональной функции является в известной мере произвольным, и соответствующая частота будет значительно варьировать в зависимости от этого выбора. С утверждениями некоторых сторонников частотной теории о том, что неполная вера означает неполную веру в суждение о частоте, нельзя согласиться. Но мы обнаружили, что сама идея неполной веры предполагает ссылку на гипотетическую, или идеальную частоту; если принять аддитивность благ, то вера степени m / n – это вера, приводящая к действию, которое было бы наилучшим, если при повторении его n раз в m случаях связанное с этой верой суждение оказалось бы истинным, или, в более кратком выражении, это вера, наиболее уместная для ряда гипотетических случаев, во всем остальном одинаковых, относительно которых рассматриваемое суждение истинно в пропорции m/ n. Именно эта связь между неполной верой и частотой дает нам возможность использовать частотное исчисление в качестве исчисления для совместимой неполной веры. И в каком-то смысле мы можем утверждать, что эти две интерпретации представляют собой объективный и субъективный аспекты одного и того же внутреннего смысла, точно так же как формальная логика может быть объективно истолкована как совокупность тавтологий и субъективно – как законы непротиворечивого мышления.

Я думаю, мы убедимся в том, что этот подход к исчислению вероятностей устраняет разнообразные затруднения, которые до сих пор многих ставили в тупик. Во-первых, он позволяет оправдать аксиомы исчисления, которого совершенно недоставало таким теориям, как теория м-ра Кейнса. Ибо теперь ясно видно, что если неполная вера в одно суждение совместима с неполной верой в другое, они подчиняются этим аксиомам, но совершенно непонятно, почему им должны подчиняться таинственные логические отношения м-ра Кейнса.[704] Удивительным образом нам должны быть неведомы конкретные случаи этих отношений, и столь же удивительным образом оказываются познаваемыми их общие законы.

Во-вторых, теперь мы вполне можем обойтись без принципа индифферентности; мы не относим к формальной логике выяснение того, какими должны быть ожидания человека, относительно того, белый или черный шар он вытащит из урны; его исходные ожидания могут быть какими угодно, но только совместимыми; мы утверждаем лишь, что если у него есть некоторые ожидания, то, чтобы он был последовательным, его другие ожидания должны быть вполне определенными. Здесь просто вероятность согласуется с обычной формальной логикой, которая не занимается критическим анализом посылок, но только объявляет, что совместимыми с ними являются лишь некоторые заключения. Возможность исключить принцип индифферентности из формальной логики – это большое преимущество, ибо совершенно ясно, что нельзя установить чисто логические условия его обоснованности, как это пытается сделать м-р Кейнс. Я не хотел бы подробно рассматривать этот вопрос, поскольку это вылилось бы в буквоедство и бесконечное обсуждение произвольных дистинкций. Но любой, кто попытается с помощью методов м-ра Кейнса определить, какие, собственно, альтернативы следует считать равновероятными в молекулярной механике, например в фазовом пространстве Гиббса, очень скоро убедится, что это задача физики, а не чистой логики. Используя формулу умножения, как она применяется при определении обратной вероятности, мы можем, по теории м-ра Кейнса, свести все вероятности к соотношениям априорных вероятностей; поэтому для последних принцип индифферентности имеет первостепенную важность, но очевидно, что этот вопрос никак не касается формальной логики. Как можно на чисто логических основаниях разбить спектр на равновероятные части?

В-третьих, трудность, которая устраняется в нашей теории, в теории м-ра Кейнса проявляется следующим образом. Я думаю, что воспринимаю или помню что-то, но не уверен в этом; это, видимо, дает мне некоторые основания для веры, хотя это не так по теории м-ра Кейнса, согласно которой для меня было бы рационально иметь степень веры, задаваемую вероятностным отношением между рассматриваемым суждением и тем, что я знаю достоверно. Кейнс не может оправдать неполную веру, основанную не на рассуждении, а на непосредственном рассмотрении. На наш взгляд, в подобной вере нет ничего такого, что шло бы вразрез с формальной логикой; может ли она быть разумной, это зависело бы от того, что я назвал большой логикой и что станет предметом рассмотрения в следующем параграфе; как мы увидим, такая возможность не вызывает возражений, но она не может быть реализована, если мы полагаемся на предлагаемый м-ром Кейнсом метод оправдания неполной веры исключительно через ее связь с достоверным знанием.

5. Логика истины.

Часто правомерность разграничения логики совместимости и логики истины оспаривается; с одной стороны, утверждают, что логическая совместимость является лишь разновидностью фактической совместимости, что если вера в р несовместима с верой в q, то это просто означает, что р и q не являются оба истинными и что это необходимый или логический факт. Сам же я считаю, что это затруднение можно разрешить с помощью теории тавтологий Витгенштейна, согласно которой если вера в р несовместима с верой в q, тогда то, что р и q не являются оба истинными, есть не факт, а тавтология. Но я не намерен здесь обсуждать этот вопрос.

С другой стороны, утверждается, что формальная логика, или логика совместимости, исчерпывает собой всю логику, а индуктивная логика является либо вздором, либо частью естественных наук. Эту точку зрения, которую, как я полагаю, высказал Витгенштейн, на мой взгляд, опровергнуть труднее. Но думаю, было бы очень жаль, если бы из уважения к авторитету мы отказались от попытки сказать что-нибудь полезное об индукции.

Поэтому давайте вернемся к общему представлению о логике как науке о рациональном мышлении. Мы установили, что все общепризнанные разделы логики, а именно формальная логика, математика и исчисление вероятностей, направлены лишь на то, чтобы обеспечить отсутствие внутренних противоречий в наших представлениях. Мы ставим перед собой этот эталон совместимости и выстраиваем тщательно продуманные правила, гарантирующие его соблюдение. Но очевидно, что этого недостаточно: мы хотим, чтобы наши представления не просто были совместимыми друг с другом, но и согласовывались с фактами;[705] и даже не ясно, всегда ли совместимость дает преимущества; возможно, лучше быть правым в чем-то хоть иногда, чем никогда. Не способны мы и быть последовательными всегда, когда хотим этого: есть математические положения, истинность или ложность которых пока не может быть установлена. Однако, возможно, по-человечески правильнее испытывать определенную степень веры в них на индуктивных или иных основаниях: логика, предоставляющая оправдание вере такой степени, фактически должна идти вразрез с формальной логикой, ибо формальная логика может приписать формальной истине только веру степени 1. Мы могли бы доказать, что в теории м-ра Кейнса вероятность такой истины равна 1 при любых свидетельствах. Это, как мне представляется, особенно ясно показывает, что человеческая логика, или логика истины, указывающая людям, как они должны мыслить, не просто не зависит от формальной логики, но иногда даже несовместима с ней.

Несмотря на это, практически во всех философских размышлениях о человеческой логике и, в частности, об индукции можно проследить тенденцию сводить ее каким-либо способом к формальной логике. При этом не утверждается, за редким исключением, что совместимость сама по себе приводит к истине; но совместимость в сочетании с наблюдением и памятью часто наделяют такой способностью.

Поскольку наблюдение изменяет (по крайней мере до некоторой степени) мое мнение о наблюдаемом факте, некоторые из моих степеней веры после наблюдения обязательно оказываются несовместимыми с теми, которые я имел прежде. Мы должны поэтому объяснить, как именно наблюдение должно изменять степени моей веры; очевидно, что если р – наблюдаемый факт, степень моей веры в q после наблюдения должна быть равна степени моей веры в q при условии р, которую я имел до наблюдения, или, согласно закону умножения, должна быть равна частному от деления степени моей веры в pq на степень моей веры в р. Если степени веры изменяются у меня именно так, можно сказать, что при изменении под влиянием наблюдения они остаются совместимыми.

Используя это определение или, по теории м-ра Кейнса, используя закон умножения, мы можем взять мои нынешние степени веры и, учитывая всю совокупность моих наблюдений, установить, из каких исходных степеней веры они были бы получены в ходе такого сохраняющего совместимость изменения. Мои нынешние степени веры можно тогда считать логически оправданными, если логически оправданны соответствующие исходные степени веры. Но вопрос о том, какие исходные степени веры являются оправданными или, согласно теории м-ра Кейнса, каковы в этом случае априорные вероятности, кажется мне лишенным смысла, и, даже если он имеет смысл, я не представляю, как на этот вопрос можно было бы ответить.

Если бы мы даже применили эту процедуру к какому-то человеку и попытались выяснить, так сказать, на каких априорных вероятностях могли бы быть основаны его нынешние мнения, то, очевидно, сочли бы их обусловленными естественным отбором и общей тенденцией приписывать более высокую вероятность более простым альтернативам. Но, как я сказал, я не понимаю, что можно было бы иметь в виду, спрашивая, являются ли эти степени веры логически оправданными. Безусловно, лучше всего было бы заранее иметь достоверное знание о том, что является истинным, а что – ложным, и поэтому, чтобы получить одобрение философа, система исходных мнений должна быть именно такой. Но ясно, что с этим не согласились бы представители критикуемого мной направления. Другой альтернативой является распределение исходных вероятностей в соответствии с чисто формальной теорией, развиваемой Витгенштейном, но раз это не дает оправдания индукции, это не может дать нам и человеческую логику, которую мы пытаемся отыскать.

Попробуем поэтому сформулировать идею человеческой логики, которую не пытаются свести к формальной логике. Логика, как мы можем признать, имеет отношение не к тому, что люди действительно считают, а к тому, что они должны считать или что им было бы разумно считать. Тогда следует спросить, что имеется в виду, когда говорят, что человеку разумно иметь веру такой-то степени в некоторое суждение? Рассмотрим возможные варианты ответа.

Во-первых, иногда имеют в виду нечто такое, что можно выразить с помощью формальной логики; по уже понятным причинам эту возможность мы можем отбросить. Во-вторых, порой это просто означает, что, окажись я на месте этого человека (и не будучи, к примеру, пьяным), я бы имел веру такой степени. В-третьих, иногда подразумевают, что если бы человек мыслил по определенным правилам, которые приблизительно можно назвать «научным методом», он должен был бы иметь веру такой степени. Но, в-четвертых, все это совсем не обязательно, так как люди не всегда верят в научный метод, и подобно тому, как мы спрашиваем: «Разумно ли я рассуждаю?», мы можем спросить: «Правильно ли рассуждает ученый?» Согласно этому последнему истолкованию, как мне представляется, мы можем определить разумное мнение как мнение идеального человека в сходных обстоятельствах. Каким, однако, было бы мнение этого идеального человека? Как отмечалось ранее, наивысшим идеалом было бы всегда иметь истинное мнение и быть уверенным в нем, но этот идеал больше подходит Богу, чем человеку.[706]

Мы должны, следовательно, рассмотреть человеческий разум и установить, что же самое большее мы можем ожидать от него.[707] Человеческий разум, по существу, работает в соответствии с общими правилами или привычками; процесс мышления, не осуществляющийся в согласии с некоторым правилом, был бы просто произвольной цепочкой идей; всякий раз, когда мы выводим А из В, мы делаем это благодаря наличию некоторой связи между ними. Поэтому мы можем сформулировать вопрос об идеале так: «Каковы могли бы быть наилучшие привычки человеческого разума?» На этот большой и не совсем ясный вопрос мы вряд ли сможем ответить, если прежде не ограничим возможные ответы и четко не определим человеческую природу. Мы могли бы представить себе некоторые очень полезные привычки, отличающиеся от тех, которые присущи любому человеку. (Нужно пояснить, что я использую привычку в самом общем возможном смысле, имея в виду просто правило или обычай поведения, включая инстинкт: я не буду проводить различия между приобретенными правилами, или привычками в узком смысле, и врожденными правилами или инстинктами, но намерен всех их одинаково называть привычками.) Таким образом, совершенно общая критика человеческого разума непременно будет расплывчатой и бесполезной, но можно сказать нечто полезное, если сузить предмет рассмотрения следующим образом.

Возьмем привычку к формированию определенного мнения, например, привычку переходить от мнения о том, что гриб желтый, к мнению о том, что он вреден. Тогда мы можем принять в качестве факта то, что некоторый человек имеет такую привычку, и затем спросим, веру какой степени ему лучше испытывать к тому, что данный гриб вреден, когда он видит его перед собой; т. е. принимая, что он будет всегда придерживаться такого мнения относительно всех желтых грибов, мы можем спросить, с какой степенью доверия ему бы следовало бы относиться к тому, что они вредны. И ответ состоит в том, что лучше всего, чтобы степень его веры в то, что желтый гриб вреден, была бы равна доле вредных грибов среди желтых грибов. (Это вытекает из смысла степени веры.) Этот вывод неизбежно является неопределенным и касается всей пространственно-временной области желтых грибов, но едва ли он более неопределен, чем сам вопрос. (Ср. с плотностью газа, состоящего из молекул, в какой-то точке.).

Сформулируем это иначе: всякий раз, когда я делаю вывод, я делаю это в соответствии с некоторым правилом или привычкой. Вывод не дан нам полностью, когда даны посылка и заключение; нам нужно также отношение между ними, благодаря которому совершается вывод. Разум действует по общим законам; стало быть, если он выводит q из р, это в целом имеет место потому, что q является частным случаем функции ?х, а р – соответствующим частным случаем функции ?х, такой что разум всегда выводит ?х из ?х. Поэтому когда мы разбираем не мнения, а процессы, посредством которых они формируются, правило, следуя которому мы делаем вывод, определяет для нас диапазон применения частотной теории. Правило вывода может быть частным, как в случае, когда, увидев вспышку молнии, я жду грома, или общим, как в случае, когда, рассмотрев и обобщив 99 примеров, истинность которых я установил наблюдением, я заключаю, что и 100-й пример также будет истинным. В первом случае процесс определяется привычкой: «После вспышки молнии ожидай грома»; степень ожидания, которую эта привычка должна порождать, равна доле случаев, когда за вспышкой молнии действительно следовал гром. Во втором случае мы имеем более общую привычку на основании 99 наблюдаемых и определенным образом обобщаемых примеров делать вывод, что и 100-й пример также будет истинным; наиболее обоснованная и соответствующая этой привычке степень веры должна быть равна доле всех случаев, когда при истинности 99 примеров 100-й пример также оказывался истинным.

Так, если дано отдельное мнение, мы можем оценить его как хорошее или плохое только на основании его истинности или ложности: если же дана определенная привычка, мы можем оценить ее как хорошую или плохую в соответствии с тем, близка или далека порождаемая ею степень веры к действительной доле случаев, в которых эта привычка приводит к истине. Тогда мы можем оценивать мнения на основе нашей оценки привычек, которые их порождают.

Этот подход можно применить не только к привычкам делать вывод, но также к привычкам наблюдать и запоминать; когда некоторое воспоминание вызывает у нас определенное чувство, мы полагаем, что это воспоминание отражает нечто такое, что действительно произошло с нами, хотя мы и не уверены в этом; степень доверия к нашей памяти бывает разной. Если мы спросим, с какой степенью доверия лучше всего отнестись к какому-то конкретному воспоминанию, вызывающему это определенное чувство, ответ должен зависеть от того, как часто при появлении этого чувства запечатленное в памяти событие действительно имело место.

Среди привычек человеческого разума особенно важное место занимает индукция. Со времен Юма было немало написано по поводу оправдания индуктивных выводов. Юм показал, что они не могут быть сведены к дедуктивным выводам или оправданы с помощью формальной логики. До этого пункта его аргументация представляется мне убедительной, и предположение м-ра Кейнса, что эту аргументацию можно обойти, трактуя индукцию как форму вероятностного заключения, на мой взгляд, принять нельзя. Но считать, что в результате складывается скандальная для философии ситуация, думаю, будет ошибкой.

Нас всех убеждают индуктивные рассуждения, и наше доверие к ним разумно, поскольку мир устроен так, что индуктивные рассуждения в общем и в целом ведут к истинным мнениям. Поэтому мы не можем не доверять индукции, а если бы могли, не видели бы никаких оснований для этого, потому что мы считаем ее надежной процедурой. Верно, что если у кого-то нет привычки к индукции, мы не сможем ему доказать, что он не прав, но в этом нет ничего особенного. Если человек сомневается в своем воспоминании или восприятии, мы не сможем доказать ему, что им следует доверять; требовать доказательства такого рода вещей значит желать невозможного, и то же самое верно в отношении индукции. Она относится к первичным источникам знания, как и память: никто не считает скандалом в философии отсутствие доказательства того, что мир не возник две минуты назад и что все наши воспоминания не являются иллюзией.

Мы все согласны с тем, что если бы человек не использовал индуктивных выводов, он поступал бы неразумно: вопрос только в том, что это означает. На мой взгляд, это означает не то, что этот человек в каком-либо смысле грешил бы против формальной логики или формальной вероятности, а то, что он не владел бы очень полезной привычкой, а без нее он находился бы в намного худшем положении, ибо, скорее всего,[708] значительно реже имел бы истинные мнения.

Это своего рода прагматизм: мы судим об умственных привычках по тому, как они работают, т. е. по тому, являются ли мнения, к которым они приводят, по большей части истинными или истинными чаще, чем мнения, к которым привели бы альтернативные привычки.

Индукция – это очень полезная привычка, и поэтому ее разумно усвоить. Философия же может лишь подвергнуть ее анализу, определить меру ее полезности и установить, от каких особенностей природы она зависит. Неизбежным средством при исследовании этих проблем будет сама индукция, без которой мы были бы беспомощны. И здесь нет никакого порочного круга. Только с помощью памяти мы можем определить, насколько точны наши воспоминания; поскольку эксперименты, которые мы проводим для установления этого, окажутся бесполезными, если они не остаются в нашей памяти.

Рассмотрим в свете сказанного, какого рода предметом является индуктивная или человеческая логика – логика истины. Ее задача состоит в том, чтобы изучать способы мышления и устанавливать, с какой степенью доверия следует к ним относиться, т. е. в какой доле случаев они приводят к истине. При таком рассмотрении от естественных наук ее отличает только более общий характер исследуемых проблем. Она должна заниматься относительной надежностью различных типов научных процедур, таких как поиск каузальных законов с помощью методов Милля,[709] или применение современных математических методов вроде принципа априорности, который использовался при создании теории относительности. Подходящий план для такого исследования можно найти у Милля; я имею в виду не подробности его методов и даже не использование им закона причинности, а его трактовку предмета (индуктивной логики) как совокупности индукций об индукциях, как закона причинности, который управляет менее общими законами и сам обосновывается индукцией через простое перечисление. При оценке различных научных методов индукция через простое перечисление используется как последняя инстанция; мы выбираем наиболее простой закон, согласующийся с фактами, но если мы не обнаружим, что получаемые таким методом законы согласуются не только с теми фактами, для соответствия которым они и были разработаны, но и с другими фактами, нам следует отказаться от этого метода в пользу какого-то другого.

Франк П. Рамсей. Дальнейшие соображения (1928).

Содержание.

A. Разумная степень веры.

B. Статистика.

C. Шанс.

А. Разумная степень веры.

Когда мы выходим за рамки разумного (как в моем понимании, так и в научном), определить его точно становится совершенно невозможно. Вслед за Пирсом мы предицируем его привычке, а не отдельному суждению. Приблизительно разумная степень веры равна доле случаев, в которых привычка приводит к истине. Но, стремясь быть более точными, мы сталкиваемся со следующими трудностями:

1. Мы не можем всегда иметь дело с реально существующей привычкой: она может быть корректно выведена из некоторого предшествующего случайного или обманчивого опыта. Тогда мы обращаемся к более общей привычке создавать подобные привычки.

2. Мы не можем обратиться к доле реальных случаев; например, если в карты играют редко, рассматриваемая конкретная комбинация реально случается очень редко.

3. Иногда мы на самом деле предполагаем теорию о мире с его законами и случайными явлениями и подразумеваем не долю реальных случаев, а их шанс согласно нашей теории.

4. Но можно было бы возразить, что, принимая во внимание пункт 1, эта трудность не обязательно возникает, поскольку согласно пункту 1 мы рассматриваем только очень общие привычки, для которых имеется множество примеров, так что, если бы шанс по нашей теории отличался от действительной доли, наша теория уже была бы признана ложной.

5. Кроме того, в таком предельном случае, как индукция, случайности не могло бы быть: она ее не предполагает.

К счастью, нет необходимости сосредоточиваться на точном смысле «разумного»; это могло бы потребоваться нам по одной из двух причин: или из-за того, что разумное является предметом изучения некоторой науки (что не так); или потому, что помогало бы нам быть разумными, дабы узнать, что такое разумность (что не так, хотя некоторые ложные понятия могли бы нам помешать в этом). Чтобы показать, что этого не нужно ни для одной из этих целей, мы должны рассмотреть, во-первых, содержание логики и, во-вторых, полезность логики.

Содержание логики.

1. Предварительное философско-психологическое исследование природы мысли, истины и разумности.

2. Формулы для формального вывода, т. е. математика.

3. Советы по поводу того, как избежать путаницы (относится к медицинской психологии).

4. Обзор наиболее общих положений, известных или используемых как привычки делать вывод; или простых индуктивных вроде: «Математический метод позволил решить все эти проблемы, следовательно...»; или же систематических, когда это называется метафизикой. Все это можно было бы в любом случае назвать метафизикой, но это считают логикой, когда ссылаются на это не просто как на информацию интересную саму по себе, а как на то, что имеет отношение к нерешенной проблеме.

Очевидно, что среди всего этого единственной самостоятельной наукой является пункт 2.

Полезность логики.

Польза указанных выше пунктов 1 и 3 очевидна; интерес представляют пункты 2 и 4. Пункт 2 – математика, она необходима для обработки и систематизации нашего знания. Помимо этого пункты 2 и 4 некоторым образом помогают нам прийти к окончательным выводам.

Логика как самоконтроль (Ср. с Пирсом).

В целом самоконтроль означает или:

1) не действовать под влиянием преобладающего на данный момент желания, а остановиться и все обдумать, т. е. обратить внимание на все остальные желания и разобраться, какое из них действительно является наиболее сильным; ценность этого состоит в том, чтобы устранить непоследовательность в действиях; или 2) сформировать сознательным решением привычку действовать не в ответ на быстротечное желание или стимул, а в согласии с долговременным желанием.

Различие состоит в том, что в случае 1 мы останавливаемся, чтобы все обдумать, а в случае 2 мы все обдумали заранее и останавливаемся лишь для того, чтобы совершить то, относительно чего уже принято решение.

Поэтому логика также дает нам возможность:

1) не составлять мнения на основе данных, которые имеются непосредственно перед нами, но остановиться и подумать обо всем том, что нам известно и что имеет к этому отношение. Она позволяет нам не быть непоследовательными и обращать внимание на очень общие факты, например: все виденные мной до этого в?роны были черными, поэтому и этот ворон будет черным. – Нет, окраска у таких-то и таких других видов может быть разной. Или, например, не просто утверждать на основании ?a, ?b... вероятность (x).?x, но учесть, что a, b... являются классом, который я видел (а увиденные случаи особенно часто могут быть или не быть ?). Это различие между смещенной и случайной выборками;[710]

2) сформировать некоторые устойчивые привычки использовать определенные приемы и интерпретации, которые мы пересматриваем, только когда над чем-то размышляем. Здесь имеет место то же самое, что при любом общем суждении; нам следует считать прием «логикой», только когда он является очень общим, т. е. не когда, например, мы считаем женщин неверными, а когда, скажем, принимаем во внимание коэффициенты корреляции с вероятной ошибкой, превышающей величину самих коэффициентов.

Что касается вынесения суждения или неполного суждения (которое представляет собой решение иметь веру такой-то степени, т. е. действовать, к примеру, определенным образом), здесь необходимо отметить следующее.

A. О чем мы спрашиваем, когда задаем вопрос: «p?», а не «Верно ли считать р?» и не «Разумно ли считать р?» (хотя они могли бы быть полезными первыми шагами).

B. Но вопрос «Верно ли считать р?» нельзя разрешить, не определив р, которому он эквивалентен.

C. «Разумно ли считать р?» означает просто «Является ли р тем, что обычно имеет место в подобном случае?», и он так же неопределен, как «обычно». Постановка этого вопроса может быть полезной для нас, но ответить на него зачастую не легче, чем на сам вопрос р.

D. Нельзя установить ни точный смысл, в каком следует для пользы дела понимать «разумно» или «обычно», ни вес, приписываемый, согласно какому-либо принципу, различным соображениям такого рода. Например, смертность среди мужчин 60 лет равна 1/10, но все 20 известных мне рыжих 60-летних мужчин дожили до 70 лет. Что мне следует считать относительно неизвестного мне рыжего 60-летнего мужчины? Я могу только представить эти факты и позволить им подействовать на мое сознание. Имеющийся конфликт между двумя «обычно» должен сам разрешиться у меня в голове; ни одно из них не является ни действительно разумным, ни действительно неразумным.

E. Когда же данные очень сложны, прибегают к статистическим характеристикам. Они выбираются таким образом, чтобы оказать на меня приблизительно такое же (насколько это возможно) влияние, какое оказали бы все представленные в них факты, если бы я мог их ясно представить. Но в целом это не может быть сведено к одной формуле; оказать воздействие может и другое имеющееся у меня знание; так, по своему влиянию р может быть эквивалентным q, а ph – не быть эквивалентным qh.

F. Есть исключения, когда «Разумно ли считать р?» позволяет полностью решить проблему. Так, если нам говорят, что имя одного из этих людей начинается на «А» и всего этих людей 8, разумно верить со степенью 1/8, что имя любого из них начинается на «А», и именно это нам всем следует делать (если только мы не считаем, что к этому что-то еще имеет отношение).

G. Тем не менее обращаться к идее «разумного» будет ошибкой; лучше говорить «обычно», ибо это предполагает неточное определение области: разумное зависит от того, что считать относящимся к делу; если у нас достаточно того, что мы считаем относящимся к делу, вопрос о том, разумно ли считать р, становится, по крайней мере, таким же трудным, как и вопрос о самом р. Если же мы все считаем относящимся к делу, эти вопросы совпадают.

H. Что нам следует считать относящимся к делу? То, что полезно принять как относящееся к делу; если бы мы могли опираться на разумное отношение к тому, что мы считаем относящимся к делу, то проблема была бы решена. В противном случае этого сказать нельзя; но этот вопрос задает наблюдатель, а не тот, кто его обдумывает: если думающий человек что-то считает относящимся к делу, он не может это отбросить, а если воспринимает как не относящееся к делу, то не может это использовать.

I. Только если мы очень немногое воспринимаем как относящееся к делу, мы отвечаем или можем ответить на этот вопрос, сославшись на разумное, которое в этом случае эквивалентно тому, что мы знаем и что считаем относящимся к делу.

J. Относящимися или не относящимися к делу считаются не только суждения, но и формальные факты, например a = a; мы можем иначе реагировать на ?a, чем на любое другое ?х, не из-за чего-то такого, что нам известно об a, но, скажем, по эмоциональным причинам.

В. Статистика.

Наука статистика занимается обобщением фактов о больших группах, которые истолковываются как случайная выборка из бесконечной «популяции». Если рассматриваемые качества являются дискретными, это просто означает, что мы берем долю наблюдаемых объектов, которые обладают этими качествами, и приписываем данное соотношение гипотетической популяции. Если же качества являются недискретными, то мы представляем популяцию в удобной и простой форме, содержащей разнообразные параметры, которые затем выбираются таким образом, чтобы приписать наибольшую вероятность наблюдаемым примерам. И в том и в другом случае вероятная ошибка для такой выборки вычисляется на основе популяции (см. обо всем этом у Фишера[711] ).

Смысл этой процедуры состоит в том, что мы записываем в удобной и простой форме (1) приблизительные доли индивидов, обладающих данными качествами в разной степени; (2) число примеров, которые мы наблюдали (весомость нашей индукции) (вероятная ошибка). Нельзя задать правило, позволяющее придать числовое значение степени веры, касающейся нового примера.

Обращение к бесконечной популяции является сомнительной процедурой, которую нельзя оправдать иначе, как ссылкой на возможность работать с пределом, что лишает эту рекомендацию смысла. Процедуру вычисления параметров методом максимального правдоподобия и вероятной ошибки можно определить как прием из чистой математики; ее значение состоит в том, что она предполагает теорию или набор шансов. Соотношение в бесконечной популяции следует заменить шансом.

Конечно же, не всегда целью является простая индукция; ею может быть и каузальный анализ: мы обнаруживаем, что шансы не такие, как мы ожидали; следовательно, кость несимметрична, или люди в наши дни более внимательны, и т. п.

С. Шанс.

1. Не существует объективных шансов в том смысле, в каком их представляют себе некоторые люди, например Н. Кэмпбелл, Р. Нисбет.[712]

Не существует, к примеру, установленного факта типа «В n последовательных подбрасываний число выпавших орлов находится в пределах n / 2 ± ?(n)». Напротив, у нас есть все основания считать, что любой подобный закон был бы нарушен, если бы мы рассмотрели достаточное число примеров.

Не существует никакого эмпирически установленного факта о бесконечной серии подбрасываний; эта формулировка принимается, только чтобы избежать опровержения опытом, а то, что никакой опыт не может опровергнуть, никаким опытом нельзя и подтвердить, не говоря уже о том, чтобы доказать.

(Н. Кэмпбелл здесь просто допускает ошибку.).

Неусовершенствованная частотная теория исключается, потому что она оправдывает «аргумент полноты шансов», например в отношении пола плода.

2. Поэтому шансы необходимо определять с помощью степеней веры; но они не соответствуют чьим-либо действительным степеням веры; шансы выпадения решки после 1000 орлов и после 999 орлов равны, хотя все ожидают, что в первом случае это произойдет скорее.

3. Шансы есть степени веры в рамках определенной системы представлений и степеней уверенности, но это не степени веры какого-либо реального человека, а степени веры в рамках упрощенной системы, к которым степени веры действительных людей, скажем, автора, отчасти приближаются.

4. Эта система мнений и представлений включает прежде всего законы природы, которые в ней считаются достоверными, хотя, конечно же, люди в действительности не так уж уверены в них.

5. Помимо этого данная система содержит разнообразные вещи такого рода: если известно ?х и больше ничего, что имело бы к этому отношение, то всегда ожидай ?х со степенью веры р (что считать или не считать относящимся к делу, также точно определяется в системе), и это записывается так: шанс ? при условии ? равен р (если р = 1, это равносильно закону). Вместе с законами эти шансы образуют дедуктивную систему, согласующуюся с правилами теории вероятности, и действительные степени веры того человека, который использует эту систему, должны приближаться к степеням веры, проистекающим из этой системы и конкретного фактического знания, имеющегося у данного человека, при том, что это знание (неточно) считается достоверным.

6. Шансы в такой системе не следует смешивать с частотами; шанс ?х при условии ?х может отличаться даже от известной нам частоты, с которой ? является ?. Так, шанс выпадения орла при вчерашнем подбрасывании монеты равен 1/2, поскольку «вчерашний» не имеет здесь значения, но отношение выпавших вчера орлов к общему числу подбрасываний могло бы быть равным 1.

7. Однако очевидно, что мы не обладаем системами, которые задают нам степень веры в каждое возможное суждение на основе любого фактического знания. Наши системы покрывают только часть этого поля, и там, где такой системы нет, мы говорим, что не знаем шансов.

8. К явлениям, по поводу которых мы располагаем знанием систематических шансов, относятся азартные игры, рождаемость, смертность и все виды корреляций.

9. Под объективным шансом мы имеем в виду не просто то, что в нашей системе есть шанс.

А то, что у нас нет надежды преобразовать нашу систему так, чтобы получить пару законов.

И т. д., где ?х, ?х – дизъюнкции легко наблюдаемых свойств (по времени предшествующих ?х). Это происходит, как указывает Пуанкаре,[713] когда малые причины порождают большие следствия.

Шансы являются объективными и еще в одном смысле: в том, что каждый соглашается с ними в отличие к примеру, от ставок на лошадей.

10. Когда мы говорим, что событие не является простым стечением обстоятельств или случайностью, мы имеем в виду то, что если бы мы узнали о нем, это заставило бы нас больше не считать нашу систему удовлетворительной, хотя по нашей системе это событие может быть не более невероятным, чем любое альтернативное ему. Так, выпадение 1000 орлов подряд не было бы случайностью, т. е. если бы мы наблюдали это, нам следовало бы изменить нашу систему шансов для этой монеты. Если обозначить это как h, то шансы в нашей системе, в которой присутствует h в качестве гипотезы, заметно отличались бы от наших действительных степеней веры во что-то при условии h.

Определяя что-то как неслучайное, мы лишь имеем в виду, что наша система шансов должна быть изменена, а не то, что она должна стать системой законов. Так, для несимметричной монеты выпадение орла не является случайностью, даже если это не всегда происходит; например, шанс может равняться 2/3, а не 1/2.

Если мы говорим: «Наша встреча не была случайной», т. е. была запланированной, запланированность просто является фактором, изменяющим шансы; к примеру, мы совершаем прогулки по одной и той же дороге.

11. Именно поэтому Н. Кэмпбелл считает, что нельзя допускать появления случайностей, т. е. случайных совпадений, т. е. случайные совпадения.

Нет случайных совпадений. Выглядит как формально убедительный вывод, но он ошибочен, поскольку система – это не суждение, которое является истинным или ложным, а несовершенное приближение к ментальному состоянию, когда несовершенства при определенных обстоятельствах становятся особенно заметными.

12. Под по существу случайными явлениями мы имеем в виду то, что нет закона (здесь: обобщения контролируемой сложности), известного или неизвестного, который определяет будущее из прошлого. Если мы предположим далее, что эти явления имеют вполне определенные шансы, то это будет означать, что они имеют эти шансы в наилучшей возможной системе.

13. Выбирая систему, мы должны найти компромисс между двумя принципами: подчиняясь всегда тому условию, что система не должна противоречить никаким известным нам фактам, мы выбираем (при прочих равных условиях) самую простую систему и выбираем (при про чих равных условиях) систему, приписывающую наибольший шанс тому, что мы наблюдали. Последнее является «принципом максимального правдоподобия» и задает единственный метод верификации системы шансов.

14. Вероятность в физике означает шанс в разъясненном нами смысле, возможно, с некоторым дополнительным усложнением, вызванным тем, что здесь мы имеем дело с «теорией» в кэмпбелловском смысле, а не просто с обычной системой, представляющей собой обобщение кэмпбелловского «закона». Что есть шанс в теории, едва ли можно объяснить, пока мы не узнаем больше о природе теорий (см. след. раздел).

15. Следует кратко рассмотреть науку статистику; с нашей точки зрения, она имеет три части:

A) составление и упорядочение выборок из разнообразных данных;

B) индукцию, т. е. создание системы шансов на основе данных с помощью принципа максимального правдоподобия;

C) каузальный анализ; например, у этой игральной кости слишком часто выпадает одна из граней, следовательно, ее центр тяжести должен быть смещен к противоположной грани.

16. Единственная трудность возникает в связи с пунктом с) – каузальным анализом, в котором мы, по-видимому, принимаем утверждение о шансе в качестве факта и рассуждаем так: «Столь частое выпадение шестерки не случайно». ?, «шанс > 1/6», ?, «центр тяжести игральной кости смещен». Это рассуждение кажется несовместимым с нашим решением того парадокса, согласно которому то, что шанс = 1/6, не совместимо с этой случайностью. Это решение состояло в том, что «шанс = 1/6», «шанс > 1/6» не являются суждениями и поэтому не могут служить посылками или заключением в рассуждениях.

17. С подобным затруднением можно справиться, если задуматься над тем, что система, которую мы в конечном счете используем, не только задает нам то, что степень веры, или шанс, что кость х упадет шестеркой вверх при условии, что х подброшена, = 1/6, но и то, что шанс, что х упадет шестеркой вверх при условии, что х подброшена и является несимметричной, > 1/6. Следовательно, посредством транспозиции получаем: х несимметрична / х падает шестеркой вверх. х подброшена > х несимметрична / х подброшена. Если a /bh > a/h, то b/ah > b /h, и именно так мы рассуждаем. На первый взгляд то, что шанс выпадения х шестеркой вверх равен р, трактуется здесь как подлинное суждение, но в действительности оно означает лишь невыраженное условие, которое в нашей системе, будучи добавленным к гипотезе, дает шанс р.

18. Мы можем сформулировать это так: статистический каузальный анализ предполагает фундаментальную систему, в рамках которой он осуществляется или которую оставляет без изменений; ни тот, ни другая, очевидно, не истолковываются как суждение. Таким образом истолковывается, видимо, более узкая система, которая выводится или может быть выведена из фундаментальной системы при добавлении эмпирической посылки, и если что действительно и истолковывается как суждение и затем видоизменяется или отвергается, так это эмпирическая посылка, а не более узкая система, которая на ней основывается.

Конечно же, эта эмпирическая посылка может быть неизвестной или весьма неопределенной; например, из того факта, что мальчиков рождается больше, чем девочек, я заключаю, что сперматозоиды, несущие признак мужского пола, имеют некоторое превосходство в количестве, подвижности или способности к оплодотворению или это происходит по любой другой из тысячи возможных причин, поскольку согласно принципу индифферентности, входящему в мою фундаментальную систему, наблюдаемое неравенство было бы крайне маловероятным, если бы такой причины не существовало. Но, видимо, здесь нет принципиального различия между этим случаем и случаем с несимметричной монетой.

19. Замечание по поводу проблемы Пуанкаре: «Почему случайные события подчиняются закону?» В сущности, ответ состоит в том, что они не подчиняются, учитывая, что никакие обобщения не возможны относительно всей совокупности случайных событий (возьмите, к примеру, инфекционные болезни, дактили в гекзаметрах, смертность от удара копытом, рождаемость великих людей).

Пуанкаре считает парадоксальным то, что актуарий может по незнанию очень легко сделать весьма полезные выводы, тогда как если бы он знал законы здоровья, он вынужден был бы совершать бесконечные вычисления. В действительности же он действует не по незнанию, а опираясь на установленные опытным путем частоты.

20. Замечание о «произвольном» выборе.

Кейнс,[714] по сути, дает ему правильное объяснение. Но:

A. Важно ввести понятие описания. Ведь в целях получения ?х нам нужно не то, что a – произвольный элемент из x(Sx), а то, что произвольным является описание (?х)(?х), когда х = (?х)(?х) безотносительно к ?х/Sx. h;

B. Существенно важно расширить значение этого термина, чтобы охватить не только выбор одного элемента, но многих; так, то, что ?x задает произвольный выбор n S по отношению к ? x, означает, что ? = x(?х) является безотносительным для вероятностей вида: доля ?, которая есть.

Идея произвольного выбора полезна в индуктивном рассуждении, в котором убедительность аргументации: «Доля S, которые есть ?, равна ?» . . «Доля S, которые есть ?, равна ?», зависит от того, является ли осуществляемый выбор ? произвольным. Если ? = 1, то, конечно же, ценность этой аргументации усиливается, если ? склоняется не в пользу ?, и ослабляется, если ? склоняется в пользу ?.

Франк П. Рамсей. Последние работы (1929).

Вероятность и неполная вера.

Недостатком моей статьи о вероятности было то, что неполная вера в ней рассматривалась как психологический феномен, определяемый и измеряемый психологом. Но такого рода психология не позволяет далеко продвинуться, и ей нет места в развитой науке. Фактически понятие степени веры, равной 2/3, бесполезно для стороннего наблюдателя, кроме случая, когда оно используется самим человеком, который говорит: «Я верю в это со степенью 2/3», т. е. (это, по крайней мере, наиболее естественная интерпретация) «Я верю в это с точно такой же степенью, как в p ? q, когда считаю p, q, r равновероятными и знаю, что только одно из них истинно». В чем же смысл этого числового сопоставления? Как используется это число? В очень многих случаях оно используется просто как основа для получения других таких же чисел с тем, чтобы в итоге прийти к числу настолько близкому к 0 или 1, что его можно считать 0 или 1, и чтобы неполная вера стала полной. Но иногда это число само используется при принятии практического решения. Как? Я хотел бы ответить: в соответствии с законом математического ожидания, но не могу, поскольку мы могли бы использовать это правило, если бы были в состоянии измерять хорошее и плохое (или благо и зло). Но, возможно, некоторым образом мы приближаемся к этому, когда в экономике предполагаем, что максимизируем неизмеряемую полезность. Возникает также вопрос, почему же именно закон математического ожидания. Ответ на него состоит в том, что если мы используем вероятность для измерения полезности, как показано в моей статье, условие совместимости требует именно этого закона. Конечно, если бы полезность измерялась другим способом, например в деньгах, мы бы не использовали математическое ожидание.

Если одинаковые различия в полезности означают для человека одно и то же, то полезность может измеряться в деньгах так же, как и в чем-либо ином. Однако с помощью нашего понятия вероятности или с помощью идеи времени можно уточнить их значение; т. е. x – y = y – z, если x в течение 1 дня и z в течение 1 дня = y в течение 2 дней. Но чтобы время не влияло, соответствующие временные отрезки должны быть длительными, относиться к разным периодам жизни одного человека, или к разным людям. Приводят ли эти два метода к одному и тому же результату? Можно ли доказать это с помощью закона Бернулли? Очевидно, нет; Бернулли позволяет оценить только шансы. Человек мог бы считать 1 единицу чего-то хорошего и 1 единицу чего-то плохого равными 2 единицам чего-то нейтрального, но при этом считать 2 единицы плохого настолько ужасным, что не захочет рисковать. (Но с этим можно справиться! Был бы только шанс, что это не произойдет.) Думаю, это показывает, что мой метод измерения является более оправданным; он один подходит для работы с целокупностями (или неделимыми сущностями) (wholes).

Это всего лишь идея; но есть ли в ней действительно какой-либо смысл? Думаю, мы можем сказать следующее.

Теория – это множество суждений, содержащее p и q всякий раз, когда оно содержит p и q, и если оно содержит какое-либо р, оно содержит и все его логические следствия. Интерес к подобным множествам проистекает из того, что можно принять одно из них в качестве включающего все то, во что мы верим.

Теория вероятности – это множество чисел, связываемых с парами суждений, подчиняющимися исчислению вероятностей. Интерес к подобному множеству проистекает из того, что, опираясь на него, можно действовать последовательно.

Математика, конечно, интересует только форма вероятности; надо признать, что он имеет дело лишь с достоверным.

Перевод с англ. Л.Б. Макеевой.

© Перевод на русский язык. Издательский дом ВШЭ, 2011.

Обозначения и символы, встречающиеся в рукописи Рамсея.