Глава 1. Понятие о стационарном и нестационарном временном ряде, выявление нестационарности ряда графическим способом.

1.1. Краткая характеристика стационарных и нестационарных случайных процессов.

Внезапно изменяющиеся тренды на валютном рынке на первый взгляд носят настолько причудливый и непредсказуемый характер, что, по мнению многих инвесторов, делать какие-то прогнозы по поводу курса валют — дело абсолютно безнадежное. И действительно, если посмотреть, например, на динамику ежемесячного курса доллара США (как, впрочем, и на динамику других свободно конвертируемых валют), то этот временной ряд нельзя назвать стационарным. Чтобы понять, к каким последствиям — с точки зрения прогнозирования курса американской валюты — ведет этот факт, нам придется немного углубиться в теорию стационарных и нестационарных случайных процессов.

Как известно, в статистической литературе принято выделять три вида случайных процессов: строго стационарные, слабо стационарные и нестационарные процессы.

Случайный процесс, образующий временнóй ряд Х₁, Х₂, Х₃,…, X_t (буква X обозначает переменную, содержащую определенную рыночную информацию, например, по динамике курсов валют, а цифры 1,2,3…., t — моменты времени), называется строго стационарным (или, как еще говорят, стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей всех переменных Х₁, Х₂, Х₃,…, X_t точно такое же, как и для наблюдений Х_1+T, Х_2+T, Х_3+T,…, X_t+T (где T=t₂-t₁ — временнóй лаг). Иначе говоря, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.

Однако в сфере экономики, в том числе в сфере финансовых и валютных рынков, строго стационарные процессы отсутствуют, а потому для нас гораздо больший интерес представляют так называемые слабые стационарные процессы, или стационарные процессы в широком смысле. Под слабым стационарным процессом понимается случайный процесс, у которого среднее и дисперсия — независимо от рассматриваемого периода времени — имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между исследуемыми переменными.

Напомним читателям, что среднее значение временного ряда можно найти по следующей формуле:

Где п — количество членов во временнoм ряде.

Дисперсия (мера разброса случайной величины, например, отклонения курса доллара от его среднего значения, или, как еще говорят, от его математического ожидания) временного ряда представляет собой средний квадрат отклонений переменной (случайной величины) от ее среднего значения.

Соответственно дисперсия находится по следующей формуле:

В Excel дисперсию можно найти, пользуясь функцией ДИСПР (если исходные данные представляют собой генеральную совокупность) или функцией ДИСП (если данные представляют собой выборку).

Для оценки тесноты и направления связи между переменными одного временного ряда с определенным лагом используется автоковариация. В частности, автоковариация между значениями X, и X_t__T, отделенными друг от друга интервалом в Т единиц времени, называется автоковариацией с лагом (задержкой) Т, которая находится по следующей формуле:

Автоковариацию, согласно формуле (1.3), в Excel можно найти с помощью функции КОВАР, которая возвращает величину ковариации. Причем последнюю называют автоковариацией в том случае, когда ее используют для оценки тесноты и направления связи между переменными одного временного ряда с определенным лагом — например, с лагом минус один месяц. Доказано, что для независимых переменных X и Y ковариация всегда равна нулю, а для зависимых переменных она, как правило, отличается от нуля. Если лаг T = 0, то автоковариация равна дисперсии.

Если временной ряд, характеризующий динамику, например, курса валют, является слабо стационарным, то это означает отсутствие: во-первых, тренда; во-вторых, строго периодических колебаний; в-третьих, систематических изменений дисперсии; в-четвертых, каких-либо иных систематических изменений во временном ряде. Таким образом, под стационарным процессом в слабом или в широком смысле понимается случайный процесс, для которого среднее и дисперсия — независимо от периода времени — имеют постоянное значение, а автоковариация зависит от длины лага между рассматриваемыми переменными.

Если временной ряд является нестационарным, то с точки зрения теории это предполагает, что он содержит не только случайную компоненту, но и тренд, а его средняя, дисперсия и автоковариация изменяются во времени. В связи с этим делать прогнозы по нестационарному временному ряду более затруднительно (особенно на длительный период или в период каких-либо резких изменений в его динамике), чем по стационарному ряду.

1.2. Распознавание стационарности временного ряда с помощью построения его графика.

Существуют различные методы распознавания стационарности временного ряда, однако, пожалуй, самым простым из них является построение графика временного ряда с последующим визуальным определением наличия в нем тренда.

С этой целью построим график ежемесячных колебаний курса доллара к рублю за период с июня 1992 г. до апреля 2010 г. Читатели, которые не умеют строить диаграммы, могут ознакомиться с представленными ниже алгоритмами действий № 1 и 2.

Алгоритм действий № 1.

Как строить диаграммы в Microsoft Excel.

Шаг 1. Поиск данных, их загрузка и первичная обработка в Excel.

Во-первых, нужно на сайте Банка России http://www.cbr.ru/ взять необходимые данные по ежедневным курсам доллара за весь интересующий нас период. Во-вторых, после копирования рыночной статистики в файл Microsoft Excel все данные по курсу доллара к рублю с 1 июля 1992 г по 1 января 1998 г необходимо разделить на 1000, поскольку на сайте Банка России за этот период они приводятся в неденоминированном виде. В-третьих, чтобы из всего массива данных оставить только необходимые для нас данные, а именно курс доллара на конец месяца, необходимо их отфильтровать с помощью опций ДАННЫЕ/ДОПОЛНИТЕЛЬНО/РАСШИРЕННЫЙ ФИЛЬТР.

Шаг 2. Построение графика в Excel.

Выделим с помощью мышки столбец с ежемесячными данными (на конец месяца) по курсу пары «рубль — доллар» за период с июня 1992 г. (на конец июня из-за отсутствия на сайте Банка России более ранних данных возьмем курс доллара на 1 июля 1992 г.) по апрель 2010 г. и столбец с соответствующими обозначениями месяцев. Далее выбираем в панели инструментов кнопку Вставка (в Excel 2007) либо кнопку Мастер диаграмм (в Excel 1997–2003), в которой выбираем опцию «График» (рис. 1.1).

В результате у нас получился график (рис. 1.2), показывающий, что динамику колебаний ежемесячного курса доллара нельзя назвать стационарной. Судя по этому графику, можно прийти к выводу, что во временном ряде наблюдается тенденция к росту, а среднее значение курса доллара в разные периоды времени принимает различные значения. В частности, на графике хорошо видно, что во второй половине 1992 г. курс доллара хотя и систематически рос, но в целом был лишь немного выше нулевой отметки, в то время как к концу 1998 г. он превысил уровень 20 руб., а в 1999–2010 гг. курс американской валюты колебался в пределах от 24 до 35 руб.

Теперь построим аналогичный график в EViews. Однако прежде нам нужно научиться импортировать данные в эту программу из исходного экселевского файла. Умение выполнять эту процедуру потребуется для последующей работы в EViews. С этой целью следует ознакомиться с алгоритмом действий № 2.

Алгоритм действий № 2.

Импорт данных и создание рабочего файла в EViews.

Шаг 1. Подготовка данных в Excel для их последующего импорта в EViews.

Прежде чем приступить к созданию диаграммы в EViews, нужно сначала импортировать в эту программу из Excel ежемесячные.

Данные о курсе доллара к рублю. При работе в более ранних версиях EViews импортируемые данные необходимо сохранять в формате Excel 5.0/95, поскольку при использовании других экселевских форматов в EViews появится сообщение об ошибке. Однако в последних версиях EViews можно загружать данные из экселевских файлов в любом формате, в том числе и из Excel 2007.

Импортируемые данные следует размещать в виде столбца в самой верхней строке экселевского листа слева. Например, заголовок первого столбца с данными должен быть помещен в ячейке В1, заголовок второго столбца сданными — в ячейке С1 и т. д., в то время как заголовок с соответствующими датами — в ячейке А1.

Заголовки столбцов следует обозначать латинскими буквами, поскольку англоязычная программа EViews не понимает кириллицу. В частности, столбец с ежемесячными данными по курсу доллара США мы решили обозначить как USDollar (поместили в ячейку В1), а заголовок (в ячейке А1) с названиями месяцев — Month. И последний важный момент: экселевский лист, на котором размещаются подготовленные к импорту в EViews данные, нужно также переименовать латинскими буквами. В нашем случае экселевский лист с импортируемыми данными назван sheetl.

Шаг 2. Создание рабочего файла в EViews.

Чтобы создать рабочий файл, содержащий данные, с которыми мы собираемся работать, необходимо в главном меню EViews выбрать опции FILE/NEW/WORKFILE CREATE. В результате откроется следующее диалоговое мини-окно (рис. 1.3).

В этом диалоговом окне необходимо задать соответствующую информацию. Так, в мини-окне WORKFILE STRUCTURE TYPE (структура рабочего файла) мы задаем опцию DATED-REGULAR FREQUENCY (даты с определенной частотой). Соответственно в мини-окне FREQUENCY (частота данных) ставим опцию MONTHLY (ежемесячные данные), в START DATE (начальная дата) — 92:06 (июнь 1992 г.), в END DATE (конечная дата) — 2010:03 (март 2010 г.). В мини-окне END DATE дату года нужно обязательно давать четырехзначной, в то время как в START DATE она может быть двузначной. В результате у нас получится (рис. 1.4) неполный рабочий файл (WORKFILE): в нем будут отсутствовать данные, которые еще предстоит импортировать.

Шаг 3. Импорт данных в EViews.

Перед импортом данных экселевский файл нужно обязательно закрыть, поскольку иначе появится сообщение об ошибке. При работе в последних версиях EViews в командной строке этой программы нужно воспользоваться опцией IMPORT/IMPORT FROM FILE. После открытия экселевского файла появится окошко EXCEL READ — Step 1 of 3 (рис. 1.5), в котором следует выбрать одну из двух опций: PREDEFINED RANGE (предопределенный диапазон) или CUSTOM RANGE (обычный диапазон). В случае выбора PREDEFINED RANGE в EViews загружаются уже выбранные программой данные, а если вы воспользуетесь опцией CUSTOM RANGE, то в этом случае можно самому выбрать требуемый диапазон данных, в том числе внести необходимые правки в опции SHEET (лист), START CELL (начальная ячейка), END CELL (конечная ячейка).

Если вы работаете в более ранних версиях EViews, то при импорте данных в командной строке нужно выбрать опции FILE/IMPORT/READ TEXT-LOTUS-EXCEL. После этого появится новое диалоговое окно EXCEL SPREADSHEET IMPORT (импорт листа Excel). В открывшемся диалоговом окне (рис. 1.6) нужно отметить в мини-окне EXCEL5+ SHEET NAME название листа, которое у нас обозначено как sheetl. В миниокне NAMES FOR SERIES OR NUMBER IF NAMED IN FILE (название для серии данных или номер серии данных, если у нее есть название в файле) поставим цифру 1, поскольку мы импортируем лишь одну серию данных, которую уже назвали USDollar. В остальных мини-окнах соответствующие опции в EViews устанавливаются по умолчанию. В частности, в мини-окне UPPER-LEFT DATA CELL (верхняя левая ячейка сданными) по умолчанию указывается ячейка В2.

Более подробно обо всех нюансах импорта данных из Excel в EViews можно прочитать, например, в книге М.Ю. Турунцевой «Анализ временных рядов»[1].

Поскольку мы уже создали рабочий файл в EViews, то построить график курса доллара, аналогичный экселевскому (см. рис. 1.2), не представляет особого труда. В рабочем файле (Workfile) EViews открываем файл USDollar, после чего используем для построения диаграммы в виде графика (LI NE) опции VIEW/GRAPH/LI NE (рис. 1.7).

В результате у нас получилась диаграмма (рис. 1.8), вполне аналогичная (если не считать различные типы форматирования, использованные при создании этих двух графиков) диаграмме на рис. 1.2, построенной в Excel. Чтобы сохранить полученную диаграмму в EViews на отдельном листе, следует нажать верхнюю кнопку FR EEZE (окончательно принять).

Таким образом, построив соответствующие графики в EViews и Excel, мы выяснили, что временной ряд, характеризующий динамику ежемесячного курса доллара, является нестационарным, поскольку в нем наблюдается ярко выраженный тренд. Вместе с тем, как уже говорилось ранее, нестационарный временной ряд содержит не только тренд, но и случайную компоненту. Следовательно, чтобы сделать адекватный прогноз по курсу доллара, необходимо учесть как тренд, так и случайную компоненту, поскольку оба эти фактора существенно влияют на динамику валюты.

Схематично наша дальнейшая работа, которой посвящены последующие главы этой книги, будет заключаться в следующем. Во-первых, нужно составить уравнение регрессии, с помощью которого можно будет делать прогнозы с необходимой точностью. Во-вторых, необходимо протестировать полученное уравнение регрессии (прогностическую модель) на его адекватность с точки зрения прогностических качеств. В-третьих, надо составить точечные прогнозы по курсу американской валюты, используя полученную математическую модель. В-четвертых, нужно удостовериться в приемлемой точности составленных точечных прогнозов. В-пятых, необходимо убедиться, что получившиеся в результате отклонения фактического курса доллара от его предсказанных (расчетных) значений представляют собой стационарный ряд. В-шестых, надо посмотреть, является ли распределение остатков нормальным, что позволит впоследствии составить интервальные прогнозы — с учетом диапазона отклонений точечных прогнозов от фактического курса доллара — с определенным уровнем надежности. В-седьмых, нужно проверить, соответствует ли точность интервальных прогнозов заданному уровню надежности. В-восьмых, научиться применять полученную статистическую модель для составления рекомендуемых цен покупки и продажи валюты, используемых в качестве стоп-приказов при работе на валютном рынке. Выполнение всех этих процедур будет сопровождаться подробным рассказом о том, как их можно выполнить в Excel или EViews, что поможет читателям впоследствии самостоятельно решать эти задачи.

Контрольные вопросы и задания.

1. Чем отличаются строго стационарные процессы от стационарных процессов в широком смысле?

2. Может ли стационарный процесс иметь тренд или какие-либо строго периодические колебания?

3. Чем нестационарный процесс отличается от стационарного? Может ли у нестационарного процесса быть тренд?

4. Если мы пришли к выводу о нестационарности временного ряда, что можно сказать об устойчивости его средней, дисперсии и автоковариации? Дайте определение средней, дисперсии и автоковариации.